2015 Fiscal Year Annual Research Report
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24540144
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| Research Institution | Tokai University |
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Principal Investigator |
酒井 利訓 東海大学, 高輪教養教育センター, 教授 (20267842)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 重み付き点集合 / 単調多角形 / 単調無交差道 / 島 / 国際研究者交流（メキシコ） |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Pは平面上の一般の位置にあるn個の点に1からnまでの各整数値を1つずつ割り当てた重み付き点集合とする。Pの部分集合Sについて，その凸包に含まれるPの点がSの点だけであるとき，SをPの島とよぶ。島Sの点の重みの和をSの重みといい，W(S)と表す。Pの点が凸の位置で，Sがその凸包の連続する何個かの頂点からなるとき，Sを弧状島とよび，1つの弧状島の重みとして取り得る値の集合をM_1，2つの互いに素な弧状島の重みの和として取り得る値の集合をM_2とする。|M_1|のオーダーはn＾2であると予想されており，n＾(3/2)以上であることは既に知られていた。平成27年度の研究では，そのオーダーがn＾(3/2)よりも真に大きいことが示された。また，M_1とM_2の関係式の改良版も得られた。研究期間全体では，「d次元空間の重み付き点集合Pとm(≦n(n+1)/4)に対して，|W(S)－m|≦n/2＾(d＋1)＋(d＋1)/2をみたす島Sが存在する」ことや「Pが平面上のとき，任意の整数kとmに対して，どの2つも互いに素なk個の島で，それぞれがmに近い重さをもつものが存在する」ことなどが示された。
Pの何個かの点を頂点とする無交差の折れ線または単純多角形で，その折れ線に沿って頂点の重みが単調に増加（または減少）するものをそれぞれPの単調無交差道，単調多角形とよぶ。研究期間中に，Pが一般の位置にあるとき，頂点数(n－1)＾(1/2)＋1の単調多角形が存在し，これが最良であることが示された。また，単調多角形の頂点の重みの和についての結果も得られている。単調無交差道については，頂点数がc(n＾(1/2)－1)（c＝1.0045…）以上のものが存在することなどが示された。Pやその凸包の単調多角形分割などにも取り組み，Pの凸包の単調多角形分割で，領域の個数が2n/3以下のものが存在することなどが示された。
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