2012 Fiscal Year Research-status Report
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24540157
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Research Institution | Ibaraki University |
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Principal Investigator |
堀内 利郎 茨城大学, 理学部, 教授 (80157057)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
下村 勝孝 茨城大学, 理学部, 教授 (00201559)
大西 和榮 茨城大学, 理学部, 教授 (20078554)
中井 英一 茨城大学, 理学部, 教授 (60259900)
安藤 広 茨城大学, 理学部, 講師 (60292471)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | CKN型不等式 / ソボレフの不等式 / ハーディの不等式 / 不等式の精密化 / 対称性の崩れ / 超対数関数 / 不等式のミッシングターム / 退化型非線形偏微分方程式 |
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| Research Abstract |
第1の問題:Caffarelli-Kohn-Nirenberg 型不等式(CKN 型不等式)の精密化と対称性の崩れの研究については以下の成果があった。不等式と同値な変分問題の解の存在と対称性の崩れの研究: CKN 型変分問題 (p > 1) に対応する線形化作用素は退化あるいは非有界な係数を持つ特異楕円型作用素となるが、特に対称解(対称な空間における extremal)における線形化作用素の解析が行われた。その結果、複数の球面調和関数による摂動を加えることにより、重みのべきが大きいとき対称性が崩れることが示された。CKN 型変分問題も平行して考察が進んでいる。
第２の問題:古典不等式における精密な無限個のミッシンク・タームの存在と応用の研究については以下の成果があった。重み付きハーディの不等式は精密な可算無限個の missing term をもつことが前回までの研究で示されているが、対数の無限積を基礎とする super logarithm を用いて記述されることか示された。それを突破口とし、更なる精密化かが出来ることか解明された（論文は現在執筆中である）。また、super logarithm 自身の特徴付けや性質の解明がある程度なされた。
第3の問題:非常に大きい増大度の非線型項を持つ準線形退化楕円型方程式の最小解の爆発、解の特異性と分岐理論の研究については以下の成果があった。 上記研究目的 2. との関連で Super logarithmの逆関数として Super exponential が自然に定義される。この関数を右辺に持つ半線形で最も単純な場合が考察され対称解の特異性、最小解の存在性とその爆発、分岐理論等の解析が行われた。さらに来年度以降研究を進める予定である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
Caffarelli-kohn-Nirenberg 型不等式に関する研究において、p = 1 の場合の研究が予定以上に進展した。
具体的には、重みの指数が大きいときに重み付き等周不等式に対する対称性の崩れが証明された。この問題は、「球対称な重み付きルベーグ測度による同体積の図形の中て表面積が最小のものが球とは限らない」ことを主張しており非常に興味深い。さらに、ミッシングタームの存在の研究の副産物としてsuper logarithm 自身の研究が予想外に進展した。また、その他の研究も順調である。
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| Strategy for Future Research Activity |
予定された研究で既に一定の成果が上がっているものもあるが、それらを含めて今後平成25-27年で完成に近づける予定である。分担者・連携研究者・研究協力者は, 以下に述べる役割分担のもとに研究を進めていく.
・堀内(研究代表者)は,ここで述べたすべての問題の研究と各分担者の研究のまとめをする.
・中井(分担者)は,立澤一哉(連携研究者)と共に、問題 2.（古典不等式における精密化）を担当し,退化楕円型変分問題に関連する各種空間上の掛け算作用素や特異積分などを専門の「実解析的手法」、「調和解析的手法」で研究 し、同時に Super logarithm の定式化を試みる。
・下村(分担者)は,問題2を担当し,専門の「ポテンシャル論的手法」を用いて楕円型作用素に関 する定性的な研究を行う.
・安藤(分担者)は、問題2を担当し、ミッシング・タームの存在問題の最終解決を目指す. ・保城寿彦(連携研究者)は昨年度までと同様に超局所解析の視点からすべての問題を考察する。
・佐藤得志(連携研究者)は問題1（Caffarelli-Kohn-Nirenberg 型不等式）を半線形楕円型作用素を中心にして担当する。
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
本研究は純粋理論を中心にしつつ、数値解析を必要に応じて組み合わせて展開される。その際、 本大学および他大学(スェーデンのシャルマース大学を含む)の研究者の間で常時接続されるネットワークを通して情報を交換し共同研究が行われる。したがって必要なコンピュータや通信機器、数学 関連のソフトウェアー、図書に若干の整備が必要である。
また、偏微分方程式、調和解析、実解析、関数解析などの研究集会に出席し、成果の発表・情報 交換を不断に行う必要があるため、研究費の大半はそのための分担者の旅費として使用される。
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Research Products
(4 results)
