2014 Fiscal Year Annual Research Report
非線形シュレディンガー方程式の孤立波の不安定性に関する研究
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24540163
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| Research Institution | Tokyo University of Science |
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Principal Investigator |
太田 雅人 東京理科大学, 理学部, 准教授 (00291394)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2015-03-31
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| Keywords | 非線形シュレディンガー方程式 / 孤立波 / 安定性 / 不安定性 / 爆発 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
非線形シュレディンガー方程式の孤立波解の不安定に関して、従来の理論を見直し、新たな理論を構築することを目指して研究を行った。具体的には、一般化された微分型非線形シュレディンガー方程式の孤立波解の軌道不安定性を証明した。この方程式は本質的に2つのパラメータに依存した孤立波解の族を持つ点が特徴である。当初は、孤立波解のまわりの線形化作用素のスペクトル解析に基づいて証明していたが、他の方程式への応用も考慮して、最終的には孤立波解の変分的特徴付けを利用した証明に書き直した。結果として、孤立波解のパラメータ領域において安定性と不安定性の境目となる曲線を決定できた。今後の課題としては、境目の曲線上の場合の安定性と不安定性を決定することが残された。
また、軌道不安定な孤立波解のどんな近くにも有限時間内に爆発する解が存在するかどうかという問題（強不安定性）も興味深い問題である。この問題に関しては、二重冪型非線形シュレディンガー方程式と引力的なデルタ関数をポテンシャルとして含む空間１次元の非線形シュレディンガー方程式に対して、定在波解の強不安定性に関する十分条件を与えることができた。特に、デルタ・ポテンシャルを含む非線形シュレディンガー方程式に対しては、定在波解を初等関数を用いて書き表すことができるため、軌道不安定性に対する従来の十分条件と今回得られた強不安定性に対する十分条件を数値的に比較することができ、今後の研究に役立つものと考えている。
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