2013 Fiscal Year Research-status Report
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24540174
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| Research Institution | Hiroshima University |
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Principal Investigator |
下村 哲 広島大学, 教育学研究科(研究院), 教授 (50294476)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
水田 義弘 広島工業大学, 工学部, 教授 (00093815)
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| Keywords | ソボレフ関数 / 楕円型偏微分方程式 |
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| Research Abstract |
楕円型偏微分方程式の解について、存在と一意性、正則性などの解析的な性質を研究する方法はいくつかあるが、ペロンの方法に代表されるポテンシャル論的方法はその有力なものの一つである。特にソボレフ空間とそれに付随する容量の概念は、方程式の弱解の正則性を調べ、それが強解であるかどうかを判定するのに欠かせない道具である。本研究では、実解析学だけでなく、偏微分方程式論、多様体上の微分幾何学やグラフ上の解析学、電気流動学や弾性学などへの幅広い応用を念頭に、ソボレフ関数を利用して、楕円型偏微分方程式の解がもつ解析的な性質をポテンシャル論的方法により研究することを目的とする。本年度は次のような研究を行った。
変動指数をもつMusielak-Orlicz-Morrey空間などの関数空間において、ソボレフの不等式がどのような形で成立するかについて論じた。変動指数をもつMusielak-Orlic-Morreyz空間において、極大作用素の有界性に関する結果を得た。応用として、変動指数をもつMusielak-Orlicz-Morrey空間に属する関数のリースポテンシャルに対するソボレフの不等式を得た。さらに、Trudingerの指数積分不等式に関する結果を得た。
また、変動指数をもつMusielak-Orlicz-Morrey空間や変動指数をもつMusielak-Orlicz空間に属する関数のリースポテンシャルに対する連続性に関する結果を得た。距離空間上でのソボレフ型定理に関する成果も得た。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
変動指数をもつMusielak-Orlicz-Morrey空間などの関数空間において、極大作用素の有界性に関する結果や、その応用として、変動指数をもつMusielak-Orlicz-Morrey空間に属する関数のリースポテンシャルに対するソボレフの不等式及びTrudingerの指数積分不等式に関する結果を得たり、距離空間上でのソボレフ型定理に関する成果も得たりするなど、変動指数をもつ関数空間上におけるソボレフ型定理を発展させることができた。このように、本年度予定していた以上の成果を得ることができたから。
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| Strategy for Future Research Activity |
平成25年度は、予定していた以上の成果を得ることができ、研究は順調に進展している。今後は、平成25年度の研究をさらに発展させるために、平成25年度に得た結果の証明のアイディアをもとに、距離空間上の変動指数をもつMusielak-Orlicz-Morrey空間やMusielak-Orlicz空間に関するソボレフ型定理などの研究に取り組み、変動指数をもつ関数空間上におけるソボレフ型定理を発展させる予定である。
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