2012 Fiscal Year Research-status Report
退化型及び特異型ケーラー・シーゲル系の適切性に関する新展開
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24540186
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Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
杉山 由恵 九州大学, 大学院・数理学研究院, 教授 (60308210)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2015-03-31
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| Keywords | Keller-Segel系 / 時間大域解 / 有限伝播性 / 非線形拡散 |
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| Research Abstract |
研究成果: 生態系のモデルであるKeller-Segel方程式系は個体密度と化学物質の濃度という２つの連立方程式系であり，強い非線形のために統一解法の適応が困難である．本年度には，同方程式系の時間大域解の一意存在定理を証明した． 方程式系固有のスケール則や自己相似性に焦点を当てることにより, 解の構造を明らかにしているところに特色がある．スケール不変空間で非線形偏微分方程式を扱うことは，解析的な解法の基本である．実際，我々は弱解を対象として，可微分性を仮定しないスケール不変な関数空間で，Keller-Segel方程式系の局所適切性を明らかにした．
意義: Keller-Segel系の弱解の一意性に対する新たな指標を与えた．すなわち，弱解に対しもっとも広いと思われるスケール不変関数空間において一意性定理を確立した．更に可解性に対しても同じ関数空間で論じることが出来，少なくとも局所適切性については，最良な定理を得たと言えよう．
重要性: 偏微分方程式の研究において解の存在一意性，安定性といった”適切性”の解明は，非線形偏微分方程式に共通する極めて重要な問題意識である．我々の研究は，Keller-Segel方程式系に対して，この基本的な問題に真正面から取り組んだものである．関数に可微分性を課さないスケール不変空間に属する弱解の一意存在定理の確立は，１９７０年以来，未解決問題として幾多の研究者を悩まし続けてきた．我々の研究成果は，少なくとも空間４次元以上の場合に同問題に完全解答を与えたものである．Keller-Segel方程式系の最も重要な空間２次元おける問題については，この研究成果の延長線上にあると期待され，懸案の問題解決まで今一歩のところまで来ている．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究課題では(1)空間高次元における解の有限伝播性の解明; (2)解の界面の特徴づけ：KS固有の界面を考察; (3)Aronson-Benilan評価式; (4)解の一意性:弱解が一意的である関数空間の確立を主たる研究目的としている. 本年度は（4）について研究成果を挙げることに成功し，2012年10月九州関数方程式セミナーと2013年1月九州における偏微分方程式研究集会（国際研究集会）で成果発表を行った．また同結果はJournal of Differential Equationsに掲載されている．（1）から（3）についても研究を遂行中であり，25年度・26年度に成果発表ができる見込みがある．
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| Strategy for Future Research Activity |
現在、大阪府立大学・川上竜樹講師と本研究課題について共同研究を行っています。毎月同大学を訪問し，研究推進をはかる予定である．またBonn大学のVelazquez教授・関氏・筒井氏との共同研究も並行しているが，5月と9月に同大学を訪問することを予定している．Imperial College LondonのCarrillo教授と進めている課題については，スカイプを利用しての議論とともに，9月に訪問し投稿論文を完成させることを計画している．
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
本年度は，大阪市立大学から九州大学への異動があった．このため，大阪に居住していることを前提とした旅費計画を見直すことを余儀なくされた．また，授業などの学内業務が軽減されたため，外国への出張が可能となった．「研究が促進できる環境が整ったこと」と，「福岡在住の場合は関西を基軸とした出張計画よりも旅費が嵩む」といった事情が重なり，研究費が不足することとなった．そこで４０万の研究費前倒しを行ったが，入試業務の依頼など，当初の予定との変更を余儀なくされたため，結果的には１１万程度の残額が生じた．２６年度の研究費が３０万程度減っているが，これについては更なる外部資金の獲得により補てんする計画である．
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