2012 Fiscal Year Research-status Report
非可換調和解析における特異積分論の新たな展開ー表現論的手法と実解析的手法の融合
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24540191
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Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Research Institution | Keio University |
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Principal Investigator |
河添 健 慶應義塾大学, 総合政策学部, 教授 (90152959)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 特異積分作用素 / ハーディ空間 / 補間理論 / Kunze-Stein現象 / 国際研究者交流 / 中国：モロッコ：フランス |
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| Research Abstract |
本年度の目標は特異積分作用素のH1有界性、補間理論、KUnze-Stein現象との関連を調べることであった。特異積分作用素としてはg-関数とLuzinの面積作用素を考え、そのJacobi空間での有界性を再考した。従来の作用素の形を若干変形することにより、よりきれいな形でH1有界性を得ることができた。しかしこの形が最終的な形であるかはもう少し研究の余地があり、他の形での有界性を引き続き考えていきたい。Jacobi空間のH1空間の定義からL2空間との補間は容易に可能である。この結果と従来から知られている古典的な形でのg-関数の有界性を比較すると、本研究の有界性を得るパラメーターの範囲が劣る。従来の有界性はKunze-Stein理論を用いる方法であり、アプローチは異なる。本研究の方が、劣ってしまう原因が、面積作用素の定義の違いによるものか、あるいは補間がパラメータに関して線形であるのに対して、Kunze-Stein現象の方がより特異な非線形的な現象であることに依存するのか見極める必要がある。面積作用素の関しては、Jacobi空間上の有界性に関する結果はいくつか知られているが、パラメーターに関する依存が複雑で、本研究との関連を精査する必要があり、現在文献等をあたっている。これらは次年度に継続して研究を行いたい。本年度は併せて離散ラドン変換の研究も行った。Jacobi空間での解析の精密化は測るために従来はフーリエ解析の類型を求めることに主眼を置いてH1空間の理論を作ってきたが、その過程で現れるラドン変換に対しても精密な理論が必要と感じている。その一貫として、離散型のラドン変換とその逆変換に関する研究も行った。等質型空間であるが、Jacobi空間の解析に役立つものと思っている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
g-関数および面積作用素のH1有界性を求める問題において、作用素の形を固定して空間を制限して有界性を考えるか、有界性を主として作用素の形をそれに合わせて変形するかで悩んでいる。どちらでも結果は得られるが、作用素と空間のより綿密な解析が今後必要となる。
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| Strategy for Future Research Activity |
当初の計画通り、特異積分論をDunkl変換さらにはCherednik変換へと拡張する。多くの計算を有するので、国内外の研究者との情報交換および研究協力を積極的に行う。Dunkl変換に関してはドイツ、チュニジア、モロッコで多くの研究成果が発表されており、交流が必要と感じる。また微分作用素に付随した特異積分に関しては、中国で積極的に研究が進められている。Kunze-Stein現象とも関連があると思われるtri-linear形式の研究はフランスで行われている。これらの大きな流れを把握するとともに、本研究の遂行に役立てたい。これらの成果を収集しつつ、未だなされていないCherednik変換に関するH1理論を完成させる予定である。
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
前年度の解析を継続し、当初の目的通り、Hyper群へ拡張する予定である。Hyper群上での特異積分作用素論に関する論文は最近多く書かれているが、等質型の場合のみで基本的に証明を含めて古典の場合の類型である。Jacobi型のHyper群など非等質の場合の結果を求めることは大きな価値がある。
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Research Products
(5 results)
