2013 Fiscal Year Research-status Report
４階放物型偏微分方程式として表される曲面の発展方程式の研究
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24540200
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| Research Institution | Muroran Institute of Technology |
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Principal Investigator |
高坂 良史 室蘭工業大学, 工学(系)研究科(研究院), 准教授 (00360967)
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| Keywords | 平均曲率一定曲面 / 表面拡散方程式 |
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| Research Abstract |
表面拡散方程式によって動きが記述される曲面について、軸対称な場合に関して定常曲面の安定性の解析を行った。具体的には、境界付きの曲面が軸対称という設定のもとで、表面拡散方程式に対する定常曲面の安定性の判定条件の導出を行った。外部領域としては軸対称ではあるがある程度一般的な形状を想定し、さらに外部領域の濡れエネルギーを考慮した問題に関して解析を行った。この問題の定常曲面は軸対称な平均曲率一定曲面となり、その候補として具体的にはカテノイド(平均曲率0の場合)、円柱、アンデュロイドが考えられる。平成25年度では、まず平成24年度に得た円柱の安定性の判定条件をより詳細に解析し、円柱の長さと半径の比(長さ/半径)が大きいほど不安定次元(不安定固有値の数)が増加することを明らかにした。また、カテノイドの安定性の解析を行い、カテノイドでも同様の判定条件が得られるが、不安定次元は最大で3であることを得た。さらにアンデュロイドに関して、ガウス写像を用いた表記でアンデュロイドを表記することで、剱持の表現公式を用いることで得られた線形化方程式よりも簡略化された方程式を得ることができ、その結果、アンデュロイドに対する線形化方程式の解が楕円積分を用いて表されることを明らかにした。この解はホインの超幾何関数を用いても表されることが数式処理ソフトMapleによって示唆されているので、平成26年度はこの解の表現公式のさらなる解析を行い、アンデュロイドの安定性に関して研究を進める予定である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
平成25年度は軸対称な場合に関して表面拡散方程式の定常曲面の安定性について研究を行い、定常曲面が円柱以外のドロネー曲面の場合についての解析で進展が見られたが、分岐解析等の解析までは研究を進めることができなかった。以上の理由から、自己評価として研究の進行状況は「やや遅れている」との評価に至った。
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| Strategy for Future Research Activity |
軸対称の場合に関して、表面拡散方程式の定常曲面の安定性と分岐解析の研究を行う。軸対称な定常曲面がアンデュロイドの場合について、ガウス写像を用いた表記法を用いることで線形化方程式の解の表現公式を得ることができたので、それをもとに安定性の判定条件の導出を行い、分岐解析まで研究を進める。また、小磯深幸氏(九州大学)を訪問し、平均曲率一定曲面の解析方法に関する最新の情報を得ながら研究を進めていく。
一方で、Willmore流方程式または表面拡散方程式による動曲面の挙動の解析を行うため、2008年にGrzhibovskis-HeintzやEsedoglu-Ruuth-Tsaiによって提唱されたWillmore流方程式の近似スキームの数学的正当性を検証する。この近似スキームは平均曲率流の近似スキームであるBMOアルゴリズムの発展版であるため、BMOアルゴリズムの応用や拡張を研究している石井克幸氏(神戸大学)を訪問し、最新の情報を得ながら研究を進めていく。
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
2015年度に曲面の発展方程式の研究に関連した国際研究集会の開催を予定しており、その研究集会の開催費用として本助成金の一部を充当することを考えているため、次年度使用額が生じる状況となっている。
6月に信州大学で行われる偏微分方程式の研究集会で研究発表を行うため、その旅費として研究費を使用する。さらに、10月に室蘭工大において非線形偏微分方程式に関する小研究集会を開催する予定であり、その研究集会の講演者の招聘費用として研究費を使用する。
設備備品費に関しては、偏微分方程式、微分幾何学、数値解析に関して知識を広く吸収するため、これらのトピックに関する書籍の購入費用として研究費を使用する。また、数値計算用のパソコンの購入を予定している。
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