2014 Fiscal Year Research-status Report
４階放物型偏微分方程式として表される曲面の発展方程式の研究
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24540200
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| Research Institution | Kobe University |
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Principal Investigator |
高坂 良史 神戸大学, 海事科学研究科(研究院), 准教授 (00360967)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 表面拡散方程式 / 平均曲率一定曲面 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
４階放物型偏微分方程式として表される表面拡散方程式の定常曲面の安定性に関して研究を行った。表面拡散方程式は、曲面に囲まれた体積を一定に保ちながら曲面の表面積を最小化するという変分構造をもつため、定常曲面は平均曲率一定曲面となる。H26年度は、外部領域と境界をもつ軸対象な平均曲面一定曲面の安定性について解析を行った。軸対象な平均曲率一定曲面はドロネー曲面と呼ばれるが、そのドロネー曲面のうち、アンデュロイドとカテノイドについて安定性の解析を行った。まずアンデュロイドについては、H25年度にガウス写像を用いた表記を用いることでアンデュロイドに対する線形化方程式の解が楕円積分を用いて表されることを示したが、その後のMapleを援用した解析で想定する結果を得ることができなかった。そこで、アンデュロイドをあらためて剱持の表現公式で表記し、ガウス写像による表記で得た知見をもとに剱持の表現公式の場合に対する線形化方程式の解が第１種および第２種楕円積分を用いて表されることを示した。また、その解の表記をもとに、アンデュロイドに対する安定性の判定条件をMapleを援用して導出した。その結果、アンデュロイドの場合は、円柱およびカテノイドの安定性の判定条件では見られなかった０固有値の重複度が２となるパラメータの条件が存在することを明らかにした。次にカテノイドについては、H25年度までにグラフまたはガウス写像を用いた表記を利用し安定性の判定条件を導出していたが、式の繁雑さから数学的に厳密な解析が進んでいなかった。そこで、カテノイドについても剱持の表現公式を用いて線形化方程式を表記し、その表記からもMapleを援用して安定性の判定条件を導出した。その結果、グラフまたはガウス写像を用いた表記の場合よりも簡略化した式が得られたので、今後はそれらの式をもとに数学的に厳密な解析を進めていく。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
Mapleを援用することで安定性の判定条件のある程度の概観をつかむことができたが、アンデュロイドについては楕円積分を含んだ超越方程式、カテノイドについては対数関数を含んだ超越方程式の解析が必要となり、数学的に厳密な解析が進んでいないため、上記の評価とした。また、当初はH26年度に分岐解析を進める予定であったが、現時点では分岐に関しては結果が得られていないので上記の評価とした。
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| Strategy for Future Research Activity |
H26年度に進めることができなかった分岐解析について研究を進めていく。H26年度に分岐解析の研究者を講師として招き勉強会を行い、微分方程式の一般的な分岐解析の方法について情報提供を受けたので、それをもとに円柱、アンデュロイド、カテノイドの分岐解析を進めていく。また、H26年度に岡山大学の藤森祥一氏を招き、ある境界条件下でのカテノイドの場合の分岐解析について情報提供を受けたので、それをもとに本研究の境界条件下での分岐解析を進めていく。
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| Causes of Carryover |
H27年度に国際研究集会を開催予定であり、本助成金の一部をその研究集会の参加者の旅費や諸費用に充当する予定であるため、次年度使用額が生じる状況となっている。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
5月末にイタリアのPalinuroで開催される4th Italian-Japanese Workshop「Geometric Properties for Parabolic and Elliptic PDE's」において研究発表を行う予定であるため、その旅費として研究費を使用する。また、8月中旬に国際研究集会を開催するため、その参加者の一部の旅費として研究費を使用する。さらに、今後の研究において数値解析を行う予定であるため、数値解析用のパソコンの購入費として研究費を使用する。
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