2012 Fiscal Year Research-status Report
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24540206
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Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
白石 潤一 東京大学, 数理(科)学研究科(研究院), 准教授 (20272536)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2015-03-31
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| Keywords | Ding-Iohara代数 / Macdonald多項式 / Laumon空間 / Nekrasov分配関数 / Whittaker関数 |
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| Research Abstract |
本研究の主な研究目標は、Ding-Iohara代数の表現論を、共形場の理論の差分類似としての観点から研究することである。以下、研究実績について述べる。
（１）Ding-Iohara代数のFock表現のテンソル積表現を研究し、基本的な準同型写像（３点関数）を（２種類）構成した（B. Feigin氏、粟田英資氏との共同研究）。３点関数の合成から定められる演算子の行列要素を計算し、それが位相的頂点と呼ばれる計算処方と同じものを与えることを示した。その行列要素はNekrasov分配関数を与える。Ding-Iohara代数のFock表現のテンソル積表現を考察する場合、自然にSL(2,Z)の作用を取り入れる必要が生じた。よって、位相的頂点の理論の背後にある対称性がDing-Iohara代数、ないし、（変形）W代数と同定できる。
（２）Macdonald差分作用素の級数解と双対性について研究した（野海正俊氏との共同研究）。Macdonald多項式は座標とスペクトル変数（分割）に関する双対性を持つことが知られている。固有関数を（ある）級数の空間の上で扱えば、スペクトル変数も連続的な変数として扱うことができてその双対性をよりはっきり観察することができる。多変数の超幾何級数のような無限級数を具体的に構成し、それがMacdonald差分作用素の固有関数となること、双対性を持つことと変換公式との関係、収束性などについて研究した。
（３）Laumon空間上の微分形式とMacdonald関数について研究した（A. Braverman氏、M.Finkelberg氏との共同研究）。Laumon空間上の接空間の構造はWhittaker関数（量子戸田方程式の波動関数）を導くことが知られている。さらに、微分形式の構造も加味するとMacdonald差分作用素の級数解が構成されることを示した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Ding-Iohara代数の表現論を色々な観点から理解するということに関して、研究はおおむね順調に進展している。とりわけ、研究実績の概要に述べた項目（１）、（２）、（３）はNekrasov分配関数を通して全てが直接関係していることがわかってきたことが重要だと考えられる。言い換えれば、代数的、及び幾何学的双方の側面からDing-Iohara代数を観察することができるようになってきたことは興味深い。
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| Strategy for Future Research Activity |
Belavin、Polyakov、Zamolodchikovの共形場の理論は、少ない公理の上に構成され、しかも豊かな数学的構造を持つことは良く知られている。Ding-Iohara代数はその差分類似理論の一つであり（変形ビラソロ代数、変形W代数の表現論を含むので）、かつHopf代数の構造を持つ。今後の研究の推進方策として、最も重要なことは、共形場の理論の差分類似と考えた場合に期待される差分方程式系の導出とそれらの方程式の解析である。これまでに得られた知識を総合することができるような枠組み（できれば公理化）と、それから導かれる事柄を追求する。
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
研究成果発表、及び、Boris Feigin氏、Michael Finkelberg氏、Vincent
Pasquier氏との研究打ち合わせを行うため、数回の海外渡航を計画。また、野海正俊氏との研究打ち合わせのため、数回の国内の旅行を計画。代数幾何学に関する書籍を数冊購入する。
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