2012 Fiscal Year Research-status Report

フォンノイマン環，自由確率論，非可換関数空間の研究

Research Project

Project/Area Number	24540214
Research Category	Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
Research Institution	Kyushu University
Principal Investigator	植田好道九州大学, 数理(科)学研究科(研究院), 准教授 (00314724)
Project Period (FY)	2012-04-01 – 2016-03-31
Keywords	フォンノイマン環 / 自由積 / 自由確率論 / 自由エントロピー / 非可換 L1-空間
Research Abstract	研究計画に沿った内容を研究したが，以下に述べるように予想以上に研究が進んだ部分がある． (1) フォンノイマン環の融合積の論文を完成させた．また，フォンノイマン環の自由積を III 型因子環の構造定理の観点から調べた．与える忠実正則状態が概周期的な場合に生じる因子環の離散分解を融合積として記述する定理を証明し，いくつかの条件の下で離散分解に現れる II∞ 型因子環の一般的構造を記述した．応用として，フォンノイマン環のあるクラスが概周期的状態に関する自由積に関して閉じていることを明らかにした．これは先行する研究成果を含む最終的な結果と考えられる．次に，Ioana--Peterson--Popa および Houdayer による与えられた離散可換乗法群を基本群（II_1 型因子環に対する不変量であり位相幾何学のそれではない）を持つ II_1 型因子環の構成が同じものであることが明らかになった． (2) 自由確率論の研究においては Biane--Dabrowski の仕事に刺激を受け，以前に日合氏と宮本氏と研究した軌道自由エントロピー (orbital free entropy) を再考察した．結果として，軌道自由エントロピーを完全な一般性を持った不変量に一般化できた．以前の我々の取り扱いだと与える多重非可換確率変数が超有限的フォンノイマン環を生成するという制限があったが，それを外し多くの基本的性質を確立した．また，何が本質的に難しい問題かを明らかにできた．本来の研究計画に従い，自由確率論での確率積分を調べた．いくつかの知見を得たが，あくまでもこれは更なる研究のための準備と位置づけられる． (3) 非可換関数空間の研究として Miguel Martin 氏とフォンノイマン環の前共役を非可換 L1-空間と理解してその Banach 空間的性質を調べ，ちょっとした気の利いた結果を得た．
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 予定外に初年度から研究成果が挙っていることは喜ばしくその観点からは区分 (1) でも良いと判断できるが，非可換 Hardy 空間関連の研究に全く手をつけることが出来なかったことから区分 (2) の評価とした．
Strategy for Future Research Activity	昨年度思いのほか成果を得たので，今年はより良い成果を得るための準備的研究に専念する必要がある．具体的には，(1) 自由確率論の於ける確率解析学の考察を先行する研究の調査に力点をおいてさらにする必要がある．(2) 昨年は非可換 Hardy 空間の考察を全くと言ってよいほど行わなかったので，今年はその研究に時間を割く必要がある．
Expenditure Plans for the Next FY Research Funding	昨年度，急なことでほぼ出張できない状況が続き研究資金が必要な出張を今年度にまわすこととなった．今年度は昨年度の研究成果の発表機会のための海外出張に加え，研究プログラムに参加し研究活動を行う海外出張が予定されている．