2013 Fiscal Year Research-status Report
可積分量子多体系の非平衡ダイナミクスと相関関数：再帰性と量子エルゴ―ド定理の検証
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24540396
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| Research Institution | Ochanomizu University |
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Principal Investigator |
出口 哲生 お茶の水女子大学, 大学院人間文化創成科学研究科, 教授 (70227544)
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| Keywords | 非平衡ダイナミクス / 可積分量子系 / 量子多体系 / 典型性 / ＸＸＸ模型 / 形状因子 / ウイルソン比 / 近藤効果 |
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| Research Abstract |
可積分模型である量子ＸＸＸ鎖および量子ＸＸＺ鎖における量子状態をベーテ固有状態を用いて構築し、その時間相関（フィデリティ）を計算する。フィデリティー(fidelity) とは、初期時刻における量子状態 |Φ(t=0)> と時間発展した後の量子状態 |Φ(t)> がどの程度近いかを表す量であり、初期時刻における量子状態と時刻ｔにおける量子状態の重なりの絶対値の二乗である。量子状態の緩和時間あるいは平衡化時間のサイズ依存性を明らかにすることが目的である。
その結果、孤立した可積分量子スピン系のダイナミクスの特徴付けがなされた。そして可積分量子スピン系において、さらにその典型的な量子状態に対して、緩和時間あるいは平衡化時間のサイズ依存性が明らかになった。フィデリティーに関しては、その緩和時間は主に構築する量子状態のエネルギー幅で決まり、システムサイズ依存性は見られなかった。
量子ＸＸＸ鎖の局所磁化の時間発展を形状因子公式を用いて厳密に追跡した。その結果、局所磁化の緩和時間はフィデリティーの緩和時間よりもはるかに長くなることが明らかになった。ここで用いた形状因子公式の導出も新しい結果である。
近藤問題など不純物を含む系の量子ダイナミクスを研究する準備として、不純物を含む可積分量子ＸＸＺ鎖のベーテ方程式の解を数値的に求め、不純物磁化率と不純物比熱を求めた。この二つの物理量の比を計算すると、近藤問題など量子不純物の効果を特徴づけるウイルソン比が導かれる。 ウイルソン比はユニバーサルな量であり、その値を求めることにより、不純物を持つ量子ＸＸＺ鎖の属するユニバーサリティークラスが明らかになった。その結果、対応する共形場理論のコンパクト化半径で与えられることが分かった。この研究成果に基づいて、今後は不純物をもつ可積分量子系においても、その時間相関やダイナミクスを厳密に調べる。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
以下の３項目の研究を予定していた。
（１）量子エルゴ―ド定理の検証：期待値の時間変動の数値評価: ベーテ固有状態を重ね合わせて様々な初期状態を導き、演算子の期待値の時間変動を評価する。量子エルゴ―ド定理の理論的帰結が妥当かどうか、確認する。
（２）局在波解をベーテ固有状態の重ね合わせで構築することの試み（量子ＸＸＺスピン鎖）: 量子ＸＸＺ鎖に対して、ベーテ固有状態を重ね合わせて量子状態を導き、磁化密度プロファイル（密度演算子の期待値）を数値的に求める。孤立局在波など、物理的に面白い状態を導く。
（３）量子ＸＸＺ鎖の任意の状態ベクトルをベーテ固有状態の和で表すアルゴリズムの研究: Kitanine et al (1999) による量子逆散乱問題の本格的な発展版である。 彼らの研究により、任意の局所演算子が代数的べーテ仮設法の生成消滅演算子で表された。しかし、任意の量子状態をベーテ仮設固有ベクトルの線形結合で表すには、さらにいくつかの工夫が必要である。下向きスピンが２個のとき、任意の量子状態をベーテ固有状態の和で表す公式の導出を試みる。そしてこれを手掛かりにして一般化する。
以上の課題の中で、（１）量子エルゴ―ド定理の検証に関しては、量子ＸＸＸ鎖の量子状態に対するフィデリティーの数値評価と、局所磁化の時間発展を求めたことにより、かなりの部分を達成できたと言えるであろう。（２）局在波解の構築に関しては、実はスピノン状態を全部足し合わせた量子状態で局在波解を実現できることを最近発見した。このため、実質的にこの課題は達成できた。（３）任意の量子状態をベーテ固有状態の重ね合わせで表すことは、現在まだ達成できていない。
以上、３項目のうち２項目までは達成できたので、研究はおおむね順調に進行している。
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| Strategy for Future Research Activity |
全体としてはおおむね順調に進行しているので、当初の計画にほぼ近い形で研究を進めていくことで問題はなさそうである。
特に、量子ＸＸＺ鎖の局所磁化に関する非平衡ダイナミクスのシミュレーションは非常に興味深く、次々に新しい成果が導かれる兆しが現れている。この研究をしっかり推進していきたいと考えている。
さらに、近藤問題に関しても順調に研究が進んでいる。不純物を含む系の量子ダイナミクスを研究する準備として、不純物を含む可積分量子ＸＸＺ鎖のベーテ方程式の解を数値的に求め、不純物磁化率と不純物比熱を求めた。そこで、この成果を発展させて、不純物を含む可積分量子多体系のダイナミクスを議論することができると思われる。
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
年度をまたぐ国際会議に参加するため、前倒し請求を行った。その一方、年度中に使用した金額は前倒し分よりも少なかったので、差が生じた。すなわち、全旅程の中で年度中に移動した部分に相当する旅費のみを年度中にを使用したため、見込んだ旅費よりも少なかったのである。
次年度使用額を用いて、旅程の中で次年度中に移動する部分の旅費にあてる。
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