2014 Fiscal Year Annual Research Report
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24654001
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
山崎 隆雄 東北大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (00312794)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2015-03-31
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| Keywords | 代数学 / モチーフ |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Voevodsky は混合モチーフの導来圏にあたる三角圏を構成したが、その際「ホモトピー不変性」という性質を基礎に置いていた。しかし、曲線のモジュラス付きピカール群のようにモチーフ論における基本的な対象でホモトピー不変性を満たさないものは多い。これらを扱えるような理論を構築することがこの研究の目標である。ここでの基本的な指針は、ホモトピー不変性をより弱い条件である Weil 相互律で置き換えるという Bruno Kahn 氏のアイデアである。Voevodsky の理論における技術的な鍵の一つは、幾何的に構成された圏を「ホモトピー不変性を満たす移送付き前層」を用いて構成した圏に埋め込んだことにあった。後者は前者よりもずっと柔軟であり、多くの場面で計算が容易になる。Bruno Kahn 氏および斎藤秀司氏との共同研究で、これを一般化した「相互前層」の概念を定義して、その基礎理論を整備した。具体的には以下の結果が得られている：まず、モジュラス付きピカール群が一般ヤコビ多様体で表現されたように、モジュラス付きの Chow 群を表現する相互前層が存在することを示した。これはモチーフ理論における新しい重要な研究対象であると期待される。また、可換代数群で表現される層、およびホモトピー不変な移送付き前層は相互前層であることも示した。さらに、Kay Ruelling 氏によってKaehler 微分形式の層やde Rham-Witt 部分形式の層も相互前層であることが示された。最後に、相互前層の Zariski 層化は Nisnevich 層化に一致して相互前層となること、開埋め込みに対する単射性条件を満たすこと、射影直線に関する不変性を満たすこと、などが証明された。
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