2014 Fiscal Year Annual Research Report
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24654026
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| Research Institution | Shibaura Institute of Technology |
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Principal Investigator |
石渡 哲哉 芝浦工業大学, システム工学部, 准教授 (50334917)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
降籏 大介 大阪大学, 学内共同利用施設等, 准教授 (80242014)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2015-03-31
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| Keywords | 数値計算 / 構造保存 / 非線形偏微分方程式 / ベクトル値関数 / 幾何学的構造 / エネルギー構造 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
ある種の変分構造をもつ非線形偏微分方程式については、その数学的構造を継承する数値計算スキームが有効であるとの認識が近年定着しつつあるが、多くの場合スカラー方程式が対象であり、ベクトル値方程式やその連立系についてはあまり多くの研究がなされてこなかった。そこで本研究では、工学においてよく現れるタイプのベクトル値非線形偏微分方程式およびその連立系について構造保存型差分スキームの開発を行い、その理論解析をすることを目的とした。3年間の研究期間において、強磁性体中の電子スピンの運動を記述するランダウ・リフシッツ方程式に対する研究で得られた、スピンの長さ保存といった幾何学的構造と、エネルギー構造を同時に再現する差分スキームについての知見を元に、構造保存のアイディアを、外部磁場がある場合の電子スピンの運動を記述するモデルや、液晶中の配向ベクトルの運動を記述するEricksen-Leslieモデル、流体中の渦糸の運動モデルである局所誘導モデルとその発展モデルなどに拡張し、それぞれ構造保存型差分スキームを開発し、その理論解析を行った。
最終年度においては、外部磁場付の電子スピンの運動モデル、Ericksen-Leslieモデル、前年度扱った渦糸の運動モデルの発展モデルなどに対して、構造保存差分スキームの開発とその理論解析を行った。また、ベクトル値関数を解として持つような偏微分方程式に対しそのポテンシャル構造が見つかるような場合および逆にポテンシャルがある場合に偏微分方程式やグラフ方程式に帰着するような問題に対して、構造保存数値解法がどのように機能するか関数解析と実際の数値解析の両方の視点から調査し、ノルムによって評価される形でスカラ問題と同様の評価が可能であることを見出した。
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