2014 Fiscal Year Annual Research Report
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24654032
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
小薗 英雄 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (00195728)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
金田 行雄 愛知工業大学, 工学部, 教授 (10107691)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2015-03-31
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| Keywords | Navier-Stokes 方程式 / 非斉次境界値問題 / 流量条件 / 大きな解の安定性 / Leray-Fujita の不等式 / Dirichelt積分 / エネルギー不等式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
一般化された流量条件下における定常Navier-Stokes 方程式の大きな弱解の安定性について考察した．3次元の内部領域における定常解が安定であるための必要十分条件は，その定常解を低階の項にもつ摂動Stokes 作用素の固有値の実部がすべて正であることが古くから知られている(Sattinger)．しかし，与えられた境界値や外力の条件によって対応する定常解の安定性を論じた結果は少ない．本研究では，多重連結領域において与えられた境界値がLeray-Fujita の不等式を満たし，不等式を実現する境界値のソレノイダル拡張ベクトル場に定常解がL^3-ノルムの位相で十分近いならば，安定であることを示した．ここで重要なことは，定常解自身は小さい必要ないことである．応用として2次元の剛体運動，3次元調和ベクトル場の境界への制限によって決まる定常流は，指数漸近安定であることが明らかになった．
また，外部領域における定常Navier-Stokes 方程式の弱解の一意性とエネルギー不等式の関連について明らかにした．3次元外部領域においては，Leray により任意の外力に対して，Dirichelt積分有限の範囲でエネルギー不等式を満たす弱解の存在が示されている．
しかし，そのような弱解の一意性については，解自身が弱3乗可積分ノルムにおいての小さいことを仮定する必要があった．本研究では，遠方に流れがある場合には，弱解に対する小ささではなく，与えられた外が小さければ，Dirichelt積分が有限であるエネルギー不等式を満たす弱解は，一意的に存在することを証明した．この結果は期待できる定常Navier-Stokes 方程式の弱解の存在と一意性に関しては，最良の結果と言える．
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