| Research Abstract |
マリンライザーと呼ばれる海底から石油を移送するために, 基地から海底へ垂直に下したパイプの，深さ x に於ける水平方向方向の変位を u(x) とした時の u(x) の満たす方程式（ riser equation）は次の，ダンピング項 a u_t を持つ4階の準線形波動方程式で与えられる．
u_tt + a u_t + 2b u_xxxx - 2[(c x+d) u_x]_x + (b/3) [(u_x)%3]_xxx - 2[(c x+d) (u_x)%3]_x - b [(u_xx)%2 u_x]_x = 0, 0<x<L, 0<t<T,
u(0,t) = u(L,t) = u_xx(0,t) = u_xx(L,t) = 0, 0<t<T, u(x,0) = u_0(x), u_t(x,0) = u_1(x), 0<x<L.
この方程式の形式解に対しては，次のエネルギー保存則が成り立つことが示される．
E(u(t),v(t)) = E(u_0,u_1) + [(v)%2 の (0,L)x(0,t)上の積分 ]， v(t) = u_t(t),
E(u,v) = [ (b/2)(u_x u_xx)%2 + (c x+d) (u_x)%2 + (1/4)(c x+d) (u_x)%4 + b (u_xx)%2 ] の (0,L) 上の積分．（ここで，u_x, u_xx, u_t は x, t に関する偏微分，(u)%n は u の n 乗を表す．）しかしながら，方程式には u に関する空間2階微分 u_xx の 2乗 という非線形項が含まれるため，エネルギー保存則だけでは，弱解の構成が極めて困難であった．ここでは，この方程式に強減衰項 εu_xxxxt を加えた緩和問題を考え，解の存在のための第一歩である，アプリオリ評価を導出した．
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