2012 Fiscal Year Research-status Report
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24654041
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Grant-in-Aid for Challenging Exploratory Research
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
樋上 和弘 九州大学, 数理(科)学研究科(研究院), 准教授 (60262151)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
村上 斉 東京工業大学, 理工学研究科, 准教授 (70192771)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2015-03-31
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| Keywords | 数理物理 / トポロジー / 双曲幾何 / クラスター代数 |
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| Research Abstract |
量子二重対数関数は、可積分系の研究においてファデーエフによって導入された。近年、数理物理における様々な分野での重要性が増している。理想双曲四面体の体積が二重対数関数を用いて表されることから、結び目の量子不変量と双曲幾何との関係を示唆する「体積予想」と呼ばれる未解決問題の解決に向けて、量子二重対数関数の幾何学的な研究を行うことは大変重要であると思われる。一方、2000年以降活発に研究されているものにクラスター代数がある。これはフォミンとゼレヴィンスキーによって導入されたものであり、クラスター変数という生成元と、変異という操作を兼ね備えた可換環である。もともと表現論研究のために用いられたが、数学・物理の多彩な分野で用いられるようになっている。量子化されたクラスター代数も盛んに研究されているが、ここでは量子二重対数関数が重要な役割を担う。従って、量子二重対数関数の双曲幾何との関係を研究するために、量子クラスター代数は有用であると期待される。
研究初年度として、クラスター代数と双曲多様体との関連性、特にクラスター変数の幾何学的な解釈について研究を行った。簡単な双曲多様体として一点穴あきトーラスバンドルおよび２橋結び目の補空間を取り上げ、詳細な解析を行い、クラスター代数を用いた双曲構造の記述を試みた。その結果、クラスター変数を用いた複素体積の計算方法を導出することに成功した。とくに、クラスター変数の3次元双曲幾何における役割を明らかにした。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
一点穴あきトーラスバンドル、及び二橋結び目の補空間について解析を進め、クラスター代数におけるクラスターｘ変数とｙ変数の双曲幾何における役割を明らかにした。特に、クラスターｘ変数を用いた複素体積の新しい計算方法を導出することに成功した。この成果を井上玲氏（連携研究者）との共著論文にまとめ、すでに投稿済みである。
この成果を一般に拡張して量子化を考察することにより、量子二重対数関数の幾何的な性質が量子クラスター代数をもちいて明らかになると期待できる。
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度の研究成果として、クラスターｘ変数およびｙ変数の双曲幾何における役割が明らかになった。簡単な双曲多様体である一点穴あきトーラスバンドル、および二橋結び目の補空間についての結果であるが、これを拡張することを試みる。具体的には以下のような研究をおこなう。
1. クラスター代数を用いて組み紐群の解であるR行列を構成する。クラスター変数と双曲幾何との関係を用いることによって、R行列についての新しい解釈を与える。
2. 1.で構成したR行列の量子化を行う。つまり、量子クラスター代数を用いてR行列を構成し、量子不変量を構成する。研究代表者が以前に構成した量子不変量との関連を調べ、双曲幾何学との関連性を確立する。一点穴あきトーラスバンドルや二橋結び目の補空間といった基本的な双曲多様体を例にとって、量子不変量と古典的な位相不変量との関係を調べる。
3. 量子二重対数関数はq級数としても書き表せる。複素体積との関係が予想されている色つきジョーンズ多項式と量子二重対数関数、クラスター代数との関連性を調べる。
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
当初、計算機を購入して数値計算・数式処理を行いデータを収集する予定であったが、クラスター代数を用いた双曲幾何の記述が予定以上にうまく進んだため、その必要がなくなった。来年度以降、量子クラスター代数を用いた量子不変量の構成およびその漸近展開についての研究を効率よく行うに当たり、高速数式処理が必要となる。そのため、来年度研究費と併せて計算機を購入する予定である。
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