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2014 Fiscal Year Annual Research Report

量子二重対数関数の幾何学

Research Project

Project/Area Number 24654041
Research InstitutionKyushu University

Principal Investigator

樋上 和弘  九州大学, 数理(科)学研究科(研究院), 准教授 (60262151)

Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) 村上 斉  東北大学, 情報科学研究科, 教授 (70192771)
Project Period (FY) 2012-04-01 – 2015-03-31
Keywords量子不変量 / 二重対数関数 / 三角形分割
Outline of Annual Research Achievements

量子クラスター代数と量子不変量との関連を考察した。前年度までに得られた成果は、(古典)クラスター代数を用いたR行列(結び目群の解)の構成であった。クラスター代数における重要な操作は変異と呼ばれるが、この変異操作をある適当な向き付けされたグラフに有限回作用させることによって、結び目群の生成元に相当するものが得られる。また、グラフ上の変異操作が三角形分割におけるフリップとよばれる分割の取り替え操作としても解釈されること、フリップが3次元的に四面体の貼り付けとも解釈しうるとの観点から、研究代表者らが構成したR行列と双曲四面体との密接な関係が予想された。
そこで、本年度はクラスター代数の量子化を試みた。量子クラスター代数における変異は量子二重対数関数を用いて記述されるとの事実を用いることによって、量子R行列を量子二重対数関数を用いて具体的に構成することに成功した。このR行列は非可換演算子を用いて書き表されるのだが、パラメータqを1の冪根に取ることによって、有限次元表示を与えることが出来る。こうして得られた有限次元R行列は、KashaevのR行列とほぼ一致することを厳密に示した。
KashaevのR行列は、量子不変量と双曲幾何との関連を示唆する重要な研究対象である。本研究成果は、古典的なクラスター代数を用いた考察によって自然に得られる双曲四面体を用いた解釈が、量子二重対数関数およびKashaevのR行列にも適用できることを示しており、量子不変量と結び目の双曲体積との関係を予想する体積予想の研究においてたいへん重要な結果である。

  • Research Products

    (8 results)

All 2015 2014

All Journal Article (4 results) (of which Peer Reviewed: 4 results,  Acknowledgement Compliant: 3 results,  Open Access: 1 results) Presentation (4 results) (of which Invited: 4 results)

  • [Journal Article] Braids, complex voltme, and cluster algebra2015

    • Author(s)
      Kazuhiro Hikami, Rei Inoue
    • Journal Title

      Algebraic and Geometric Topology

      Volume: 未定 Pages: 未定

    • Peer Reviewed / Acknowledgement Compliant
  • [Journal Article] Torus knots and quantum modular forms2015

    • Author(s)
      Kazuhiro Hikami, Jeremy Lovejoy
    • Journal Title

      Research in the Mathematical Sciences

      Volume: 2 Pages: 2 (15 pages)

    • DOI

      10.1186/s40687-014-0016-3

    • Peer Reviewed / Open Access / Acknowledgement Compliant
  • [Journal Article] Braiding operator via quantum cluster algebra2014

    • Author(s)
      Kazuhiro Hikami, Rei Inoue
    • Journal Title

      Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical

      Volume: 47 Pages: 474006

    • DOI

      10.1088/1751-8113/47/47/474006

    • Peer Reviewed / Acknowledgement Compliant
  • [Journal Article] The colored Jones polynomial, the Chern-Simons invariant, and the Reidemeister torsion of a twice-iterated torus knot2014

    • Author(s)
      Hitoshi Murakami
    • Journal Title

      Acta Math Vietnam

      Volume: 39 Pages: 649-710

    • DOI

      10.1007/s40306-014-0084-x

    • Peer Reviewed
  • [Presentation] モックテータ函数の周辺2015

    • Author(s)
      樋上和弘
    • Organizer
      東北大学 情報科学研究科 談話会
    • Place of Presentation
      東北大学
    • Year and Date
      2015-01-16
    • Invited
  • [Presentation] Quantum Modular Form from Torus Knots2014

    • Author(s)
      Kazuhiro Hikami
    • Organizer
      Low-Dimensional Topology and Number Theory
    • Place of Presentation
      Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach, Germany
    • Year and Date
      2014-08-22
    • Invited
  • [Presentation] The colored Jones polynomial, the Chern-Simons invariant, and the Reidemeister torsion of a cable knot2014

    • Author(s)
      Hitoshi Murakami
    • Organizer
      Low-dimensional Topology and Number Theory
    • Place of Presentation
      Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach, Germany
    • Year and Date
      2014-08-20
    • Invited
  • [Presentation] (mock) modular form and quantum invariant2014

    • Author(s)
      Kazuhiro Hikami
    • Organizer
      Mock Modular Forms and Physics: Black Holes, Moonshine, and Conformal Field Theory
    • Place of Presentation
      Institute of Mathematical Sciences, India
    • Year and Date
      2014-04-15
    • Invited

URL: 

Published: 2016-06-01  

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