2014 Fiscal Year Research-status Report
スピン格子模型における厳密解と数値解析の生物系への応用
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24654121
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| Research Institution | Nagoya University |
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Principal Investigator |
南 和彦 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 准教授 (40271530)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 量子スピン模型 / 厳密解 / 生物の数理モデル |
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| Outline of Annual Research Achievements |
スピン1/2の1次元XY模型は、ある種のランダムウォークの生成演算子であると見なすことができ、それと等価な2次元のIsing模型は、細胞選別の簡単な模型であると考えることができる。これらはいずれも free fermion系に変換されて厳密解が得られる。
今年度はこれらに関連して、ハミルトニアンを構成する演算子の交換関係のみに注目することで自由エネルギーを導出する手続きを見出し、1次元transverse Ising模型、磁場のある1次元XY模型、2次元Ising模型、およびこれらに有限の周期構造を与えたもの、およびその他のやや複雑な構造を持つ量子スピン模型について厳密解を導いた。この方法により、条件をみたす演算子列から可解なハミルトニアンとその自由エネルギーを求めるための変換を、同時に得ることができる。この結果は、現在までに個別に解かれて来た模型の厳密解を統一的な手法によって導くものであり、また生物系の変化の生成演算子のうちの一部が free fermion系である場合にそれを判定し、その部分について厳密な結果を示すことができる。ただしこれらはいずれも解ける構造としては新しくない。
2次元Ising模型と磁場のある1次元XY模型との等価性を数年前に、対称性の低い場合、ランダム性を含む場合について一般化してあり応用例を加えて論文にしようと考えていたが、特に思いつかないので、基本的な構造の部分をletterとして投稿し公表した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
1次元transverse Ising模型は、量子効果を含む最も基本的なスピン模型である。この模型の自由エネルギーは既に得られているが、これを既存の方法とは違う形で解き直し、その導出を見直してみたところ、自由エネルギーが交換関係のみによって導かれていることに気づく。したがって、ハミルトニアンがスピン演算子によって具体的にどのように書かれているかによらず、そこに現れる項の交換関係が適当な条件をみたせば、同じ方法によって自由エネルギーを求めることができることがわかる。その結果、1次元transverse Ising模型、磁場のある1次元XY模型、2次元Ising模型という古くから知られる一連の模型とその一般化を、同一の手続きによって対角化することができた。
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| Strategy for Future Research Activity |
こういった基本的な模型は多くの場合free fermion系に帰着するが、そこから外れた構造に関して厳密な結果を得ることは非常に難しい。今回free fermion系を非常に簡明に扱う手法が得られた以上、これを今後の一般化の出発点として選ぶべきであろう。
コンタクトプロセスの2種共存の問題については、相関等式の系統的な近似列を構成し低い近似に関しては解析的な結果を得ている。この近似列を延長して信頼性のある結果を導くために、共同研究者とともに、解析的あるいは数値的な方法で研究が進展中である。
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| Causes of Carryover |
平成26年度に、フェルミ系に変換される1次元量子スピン模型の厳密解を得てその結果を国内と海外での研究集会において発表する予定であったが、導出が完全であることの確認に時間がかかり、そのため計画を変更して成果発表を次年度に行うことにした。またノートパソコンの更新を予定しており機種も選定していたが、現時点で動作が一応安定しているため更新を数ヶ月送らせることにした。これらのために未使用額が生じた。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
このため、国内と海外での研究集会での成果発表と情報機器およびソフトウエアの更新を次年度に行うこととし、未使用額はその経費に充てることとしたい。
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