2015 Fiscal Year Annual Research Report
スピン格子模型における厳密解と数値解析の生物系への応用
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24654121
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| Research Institution | Nagoya University |
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Principal Investigator |
南 和彦 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 准教授 (40271530)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 可解模型 / 生物の数理モデル |
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| Outline of Annual Research Achievements |
量子スピン鎖のハミルトニアンを構成する演算子が特定の交換関係をみたすとき、一般にその演算子系を free fermion系に変換して分配関数を厳密に導出する方法を見出した。つまり、条件をみたす演算子系から、対角化できるHamiltonianとそれを対角化する変換が同時に得られる。この方法によって、S=1/2 の1次元transverse Ising模型、1次元Kitaev模型、周期2の1次元XY模型、周期mの2次元正方格子Ising模型の厳密解が得られる。さらに相互作用に自由度を含む模型、多体の相互作用を持つ模型、長距離相互作用を持つ模型の分配関数が厳密に得られる。さらにこの方法によって解かれる可算個の可解模型の系列を複数見出した。
この手法はJordan-Wigner変換とMajorana fermionへの変換、および南部によるfermion系への変換をその特別な場合として含む。さらに、トポロジカル相や量子情報との関連から議論されている1次元cluster模型について、cluster模型を含むその拡張を導入し、自由エネルギー、自発磁化、String相関を厳密に導出した。
生体系などに関連してしばしば議論される確率過程のうちのいくつかは、free fermion系に変換されてその定常状態等が厳密に得られる。特に、隣接する状態によって次の状態が決まる場合、つまりHamiltonianで書いて最近接の2体の相互作用のみを持つ場合については、free fermion系に変換される確率過程は分類されているが、本研究で得られた結果によって、多体の項を含む過程をfree fermion系に変換し、厳密に取り扱うことができるようになった。
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