2012 Fiscal Year Research-status Report
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24700014
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
DAHAN Xavier 九州大学, 数理学研究院, 助教 (50567518)
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2012-04-01 – 2014-03-31
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| Keywords | 国際情報交換 |
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| Research Abstract |
グレブナー基底の構造と分解という本計画は、下記通りに進んだ。第一分は、零次元イデアルという辞書式順序のグレブナー基底に対する構造を検査することである。根基イデアルの場合、下記のプレプリントは
On lexicographic Groebner bases of radical ideals in dimension zero:interpolation and structure. arXiv:1207.3887
完全にその構造を解決する。これは初めに明白な補間公式を提供することによって、関係の先行研究よりも強い構造的な性質に与え、これのすべてを向上するものである（こういう性質が根基でないイデアルに合わないことに注意）。本計画を作成したときにもう解決したn=3変数の場合に比べて、n>3変数への一般化より難しい。この結果に基づいて、辞書式順序のグレブナー基底の分解に関する予備結果を進行中の状況である。n=2変数の場合、その分解が簡単で、以前から良く分かっていたが、n>3変数の場合、かなり複雑なグレブナー基底に基づく計算以外に、方法がない状況である。n=3変数の場合、私は最大公約多項式に基づく効率なアルゴリズムを設定した。n>3の場合に、もっと困難な再帰アルゴリズムが必要であることが分かっている。最も簡単な公式を設定することは、最も強いインパクトを与える計算量の解析のために重要である。前述の結果を下記の最近の国際ワークショップで発表した
Gcd-based decomposition algorithm of lexicographic Groebner bases. Workshop on Solving Multivariate Polynomial Systems and Related Topics. 福岡ソフトリサーチパークの福岡SRPセンタービル, 3月 2-3日2013
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
グレブナー基底の「構造」の研究は、前述のarXiv:1207.3887の一つの部分で、よいジャーナル（Journal of Symbolic Computation）に投稿するため、頑丈な結果を含む必要を応じて、利用される方法の補間に関する結果を追加した。その後、「分解」という部分について集中し初めた。それを最大公約多項式を利用して、「構造」の定理に強くつないでいる。n=3変数の場合を解決して、n>3の場合、構造の定理の複雑さに従って、精緻な再帰法を設定する必要である。
「構造」や「分解」に関する上の二つの研究は重根を持つ多項式方程式系のようなものには対応できない。根基であるというイデアルだけを扱うことができる。しかし、横山・和弘教授（立教大学理学部数学科）との仮ディスカッションによって、その分解アルゴリズムとの特別な多項式方程式系上のsquarefree partを計算するアルゴリズムを組み合わせることによって、根基でないイデアルへの非常に興味深い拡張をするができる。これは、元の本科研費の計画の中に無かったものであるが、「分解」の部分に関連しており，興味深い結果となっている。
現在の研究の達成度をみると、24年度の計画は楽観的すぎであったことがわかる。 より多くの時間が明らかに必要である。
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| Strategy for Future Research Activity |
研究の次の段階は、上記の分解アルゴリズムを作成，実装することである。
前述の構造や分解の２つの作業では，多重根多項式系の場合は含まれない。それらは，根基イデアルのみを扱う。しかし，横山教授との準備討論では，特殊な多項式系上での無平方部分の計算を用いた分解アルゴリズムの非常に興味深い拡張が根基イデアルを計算することを許すことを示唆している。これは当初の応用では計画されていなかったが，分解部分ととても興味深い結果に関連している。
一旦成し遂げられたなら、計画に述べた通りに、その「構造」や「分解」の結果をmodularアルゴリズムや変数のbit-sizeの上界に、適用していきたい。辞書式順序より一般な単項式の順序への可能な一般化を考える。
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
Bostonで行われるISSAC会議の際に、ポスターを用いて発表をする予定である。そして、前述した根基イデアルの計算アルゴリズムに関する横山 和弘教授との共同研究について、東京にある立教大学への何度か出張する予定もある。そのほか、国内会議に参加して発表する。もし、補助金が残ったら、カナダのUniversity of WEstern Ontarioを所属する二人の共同研究者を訪ねる。
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