2015 Fiscal Year Annual Research Report
初等関数と特殊関数の高可搬で高精度かつ高信頼な高速計算手法の実現
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24700015
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| Research Institution | Teikyo Heisei University |
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Principal Investigator |
山中 脩也 帝京平成大学, 現代ライフ学部, 助教 (90548877)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 数値計算 / 精度保証 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目標は，初等関数や特殊関数に対して，高可搬・高精度・高信頼・高速という4つの特徴を持つ数値計算アルゴリズム（4H-Algorithm）の設計法を構築することである．最終年度である平成27年度は，これまでに達成した初等関数の構築で得た知識と，四則演算の 4H-Algorithm・エラーフリー変換を組み合わせ，無限積分によって表現される特殊関数，特に変形ベッセル関数の精度保証フレームワークの構築を行った．
これまで半無限区間の数値積分に対する精度保証法は，被積分関数ごとに数学的な解析が必要であったため，汎用的な精度保証法の構築は簡単ではないと考えられてきた．この問題に対して，近年，二重指数関数型積分公式に基づく誤差解析が行われ，半無限区間の積分を変数変換により，誤差解析の行いやすい形に変更する方法が提案された．この方法は，半無限積分を直接扱える点で画期的であるが，誤差定数の計算が簡単ではないという問題点があった．この問題点に対し提案手法では，従来手計算が必要であった箇所に，最大値の原理を基礎とする複素区間演算を用いることにより，半無限積分の誤差上限が汎用的に計算できるようになった．
また，変形ベッセル関数の計算に於いては，被積分関数の中に指数減衰する項が含まれているが，それ以外の部分をブラックボックスとして計算を行うと，誤差定数が発散することがあった．この点に対し提案手法では，指数減衰項・多項式項・それ以外の部分に分け，被積分関数に多項式が含まれていても誤差定数が発散しない定理を与えた．この方法は，従来法では精度保証できない形状の半無限積分でも，被積分関数内の項を別個に取り扱うことで精度保証ができることを示しており，この精度保証フレームワークが本研究課題を更に発展させ，より複雑な関数に対しても 4H-Algorithm を構築することができることを示唆している．
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