2014 Fiscal Year Research-status Report
時空間統計・量子統計における高次元モデルのベイズ予測理論
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24700273
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
田中 冬彦 大阪大学, 基礎工学研究科, 准教授 (90456161)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 統計数学 / 数理工学 / 量子コンピュータ / 情報工学 / 応用数学 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は昨年度に導出した量子統計的決定理論におけるミニマックス定理の証明を精緻化し、より簡潔に記述することに成功した。対応する古典版（古典統計的決定理論におけるミニマックス定理）は古くから知られていたものの煩雑な証明になっていた。また、古典ミニマックス定理は量子ミニマックス定理を経由して導出できる。さらに、定理とそれに付随する一連の結果（ベイズ決定、ミニマックス決定、Least Favorable Priorの存在など）は一般化測定集合で成立する。そのため、一連の結果が成立する範囲では、統計的決定理論は古典・量子を区別せずに議論できることが明らかになった。パラメータ空間がコンパクトであることは本質的な仮定であり、この仮定をはずすとミニマックス解は存在してもベイズ解にはなりえないこともあるし、LFPが存在しないこともある。こうした点は過去の先行研究では指摘されていなかった。
本年度は、このような予想外の研究成果を受けて方針を転換した。つまり、時系列モデルと量子統計モデルに分けて考えるのではなく、統一的な観点から取り組むことにした。理論的な成果について、解析的な解が得られるモデルを扱うのではなく、数値的に扱うための汎用的なアルゴリズム開発に着手した。特に、本研究のテーマである高次元モデルを扱うため、アルゴリズムは数次元程度でうごくものではなく、少なくとも数百次元といったオーダーでつかえることを目指す。その最初の取り組みとして、群上の不変測度であるハール測度、特に特殊ユニタリ群についてマルコフ連鎖モンテカルロ法のアイディアを利用して数値的な生成アルゴリズムを提案した。この方法は毎回、独立にハール測度からユニタリ行列を発生させるよりも効率がはるかによいことが予想される。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
成果の概要で述べたように、時系列モデルと量子統計モデルで分けて考えるという当初の方針から、統一的な観点で数値的に扱うという方針に変えた。その大きな理由は古典・量子の統計的決定理論の関連する結果が統一的な枠組みにのることが明確になったからである。数値的なアルゴリズムの提案や平易なケースでの実装も着実に進んでいる。
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| Strategy for Future Research Activity |
成果の概要で述べたように、時系列モデルと量子統計モデルで分けて考えるという当初の方針から、統一的な観点で数値的に扱うという方針に変えた。これまでの理論的な成果について、数値的に扱うための汎用的なアルゴリズム開発にも着手している。
しかしながら、漠然と大きな目標を掲げているだけでは難しい。予算や時間の兼ね合いもある。当初の研究計画の細部にこだわらず、もう一度、研究目標を見直して、達成可能な目標にブレークダウンして、小さいが着実な成果をあげることを目指す。
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| Causes of Carryover |
招待講演を含め、講演が当初の想定以上に年度末に集中した。そのため旅費計上の観点から支出を見合わせた経費として未使用額が生じた。（実際、軽微な額である。）
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
年度末に集中した旅費算出など不確定な要素が多かったことによるものであり、文献収集や計算機の周辺機器、消耗品の購入などに充足する予定である。
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