2015 Fiscal Year Annual Research Report
時空間統計・量子統計における高次元モデルのベイズ予測理論
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24700273
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
田中 冬彦 大阪大学, 基礎工学研究科, 准教授 (90456161)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 統計数学 / 数理工学 / 量子コンピュータ / 情報工学 / 応用数学 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的はベイズ統計学、ひいては統計学全般で根本的な課題の一つである、無情報事前分布の選び方に関して、これまでの提案者の知見・研究成果をさらに推し進めることであった。これまでにジェフリーズ事前分布や相互情報量最大化事前分布などが提案されてきたが、不十分な点も多かった。特に独立性を外した統計モデルの場合には、本質的にサンプルサイズ１の議論になるため、ベイズ的な統計推測は事前分布の選び方に依存してしまう。もちろん、サンプルサイズ１の場合、伝統的な統計学における最尤法は理論的根拠も得られないし、実際、問題が多い。一般理論は難しいように思われたため、当初はかなり特定の時系列モデル、および量子統計モデルで、解析的な扱いが比較的可能な例について、検討することを想定していた。
しかし、これら一連の研究を進めていくうちに、統計的決定理論におけるもっとも不利な事前分布というアイディアを数学的に整備するという方向性を見出した。具体的には、LeCamによる統計的決定理論におけるミニマックス型の定理を量子統計的決定理論にまでいったん拡張する。さらに、測定の構成的な閉凸集合という概念を導入し、閉凸集合ごとに、もっとも不利な事前分布を定義するというものである。古典と量子の違いは、統計モデルと測定の構成的な閉凸集合の選び方のみに現れ、ベイズ統計学として、両者を統一的に取り扱うことが可能になった。パラメータ空間のコンパクト性が本質的であるため、有限次元であれば、どれだけ次元が高くとも理論上は問題ない。
特に、最終年度では、事前分布が与えられたもとで、よいベイズ推測、予測を与えるための測定方法について数値的に求めるシンプルなアルゴリズムを提案し、小規模の系では数値的に導出できることを示した。このような結果をまとめ、もっとも不利な事前分布を求める方法に着手することが今後の課題である。
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