2014 Fiscal Year Annual Research Report
非線形半正定値計画問題に対する錘への接近を考慮した信頼領域法の構築と実装
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24710161
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
山下 真 東京工業大学, 情報理工学(系)研究科, 准教授 (20386824)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2015-03-31
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| Keywords | 応用数学 / 数理最適化 / 非線形最適化 / 半正定値計画問題 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
各変数に上下限制約のついた最適化問題は、制約付き最適化問題の基礎的な問題の一つである。本研究では、変数を対称行列に拡張することで、固有値に関する上下限制約を持つ非線形半正定値計画問題を対象とする効率的な計算手法の構築を行った。このような計算手法は、データに不確実性を伴うような数理最適化問題などへの利活用が考えられる。これまでに非線形半正定値計画問題は内点法や実行可能方向法が計算手法として議論されてきたが、より効果的な計算手法を設計するためには、最適解が実行可能領域をなす錐の境界付近に存在する場合を考慮する必要がある。
本研究では、Coleman & Li の提案した錐への接近を考慮した信頼領域法に基づいて、上下限制約を持つ非線形半正定値計画問題に対する計算アプローチを検討した。信頼領域法では、最小化したい目的関数の２次近似関数をどのように設計するか、という点が重要であるが、本研究のアプローチでは、固有値の上下限制約までの距離の情報を２次近似関数に取り込むことにより、計算過程の反復点が錐の境界に過度に接近しないように設計を行った。また、このアプローチの理論的な解析として、信頼半径の調整という信頼領域法の枠組みと２次近似関数を組み合わせることで、最適解への大域的な収束を証明している。
数値実験で比較した結果、高次の項を含む目的関数を持つような上下限制約非線形半正定値計画に対しては、実行可能方向法よりも本研究のアプローチは短時間での求解を達成しており、錐への接近を考慮した２次近似関数の有益性が示された。内点法での求解が難しい行列のサイズが5000を超えるような大規模問題も求解している。
本研究の結果については、論文として学術雑誌に投稿を行った。また、数値実験のために作成したプログラムについてもフリーソフトウェアとして公開を行った。
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