2012 Fiscal Year Research-status Report
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24740004
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Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
高木 寛通 東京大学, 数理(科)学研究科(研究院), 准教授 (30322150)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | Calabi-Yau ３様体 / 導来圏 / ホモロジー的射影双対性 / ミラー対称性 / Sarkisov リンク |
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| Research Abstract |
今年度は細野忍氏（東大数理）と共同で研究をして三篇の論文を執筆した．いずれもReye 合同型 Calabi-Yau ３様体 X に関する研究である．
第一論文では，X のミラー族のオービフォルド構成を与えた．それは，行列式型５次超曲面の特別な族を注意深く選び，そのクレパント特異点解消を構成することで実現された．副産物として，X の不分岐二重被覆である P4×P4 の完全交叉のミラー族の構成も得られ，また，そのモノドロミーを決定した．
第三論文では，X と別の Calabi-Yau３様体 Y の導来圏が同値であることを示した．
Y は，射影幾何およびミラー対称性の観点から，自然に X と対になっており，P4 において，線形型式を成分とする５次対称行列の行列式で定義される５次超曲面の二重被覆として得られる．X と Y の導来圏の同値は，X でパラメーター付られる，Y 上の種数３，次数５の曲線族のイデアル層によって与えられる．この曲線族は，以前の細野氏との共同研究によって得られた Y のBPS数によって，その存在が予言されていた．
第二論文では，X と Y を線形切断として含む，SL5-球面的多様体 X0, Y0 の性質をホモロジー的射影双対性の観点から調べた．特に，X0, Y0 の導来圏にLefschetz組を構成した．これは，第三論文で X と Y の導来圏の同値を示す際にも鍵となる結果である．また，Y0 の双有理幾何を，Grassmann多様体 G(3,5) 上の二次曲線のパラメーター空間と結びつけることで詳細に調べ，Y0 を出力するSarkisov リンクを構成した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
論文を３編執筆することが出来た．その中で，数年来の細野氏との目標であった，Reye 合同型 Calabi-Yau ３様体の導来圏の同値問題を解決することができた．また，細野氏との仕事については，将来につながる問題も残っており，先につながる研究をすることができた．Calabi-Yau３様体の記述に出てくるSL5-球面的多様体は, 半等質多様体であり, 当該研究者が単独で従事してきた, Q-Fano３様体を簡約でない代数群の半等質空間の線形切断として記述する仕事にも関係する成果を挙げることが出来た．
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| Strategy for Future Research Activity |
研究実績の概要で述べた細野忍氏との共同研究の延長上にある問題が二つある．一つは，Reye 合同型 Enriques 曲面 S と Artin-Mumford ４次２重３様体 Vの特異点解消の導来圏の関係である．S の不分岐被覆は P3×P3の完全交叉であり，研究実績の概要で述べた Calabi-Yau ３様体 X の２次元版である．これは，上記の Calabi-Yau ３様体と類似の方法で，調べることができることが分かっており，その結果，S の導来圏から V の特異点解消のそれへの充満忠実な関手が得られる．しかし，この場合，この関手は同値ではありえず，二つの導来圏には差が生じる．この差を完全に決定するのが第一の目標である．
もう一つの問題は，P2×P2の２重商 A と P2×P2 (本来は，P2 の双対平面の直積と見るべき）のホモロジー的射影双対性の確立である．これは，上記で出てきた，P4×P4, P3×P3 の２重商に続く場合であるが，上記より単純であるものの，上記の場合ではP4×P4, P3×P3の２重商の線形切断を取って得られる多様体のみ考えるのに対して，この場合は，P2×P2の２重商 A そのものを考える．状況がより簡単であるがゆえに，２重商そのものの導来圏を考えることが可能となり，P2×P2 とのホモロジー的射影双対性が確立できると期待している（しかし，非自明なコホモロジーの計算を必要とする）．その結果，その線形切断の導来圏も記述できる（本来は，P4×P4, P3×P3 の２重商の場合もこのような理解の仕方が出来ればよいのであるが，必要な計算が多すぎるため敬遠している）．
また，単独の研究として，長期的の行っている，Q-Fano３様体を簡約でない代数群の半等質空間の線形切断として記述する仕事も進展させる．
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
６月に京都大学数理解析研究所にて開催される研究集会「モジュライ理論の発展」に参加するため出張し，モジュライ理論のついての理解を深める．また，その機会に，数理研の向井茂氏とQ-Fano３様体について議論して，上記のQ-Fano３様体を簡約でない代数群の半等質空間の線形切断として記述する仕事の発展に役立てる．
また，同じく京大数理研にて１２月に開催される「Fano 多様体の最近の進展」に参加して，Fano多様体の理解を深めるとともに，講演も行って研究成果を発表する．
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Research Products
(4 results)
