2012 Fiscal Year Research-status Report
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24740011
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Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
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| Research Institution | Osaka City University |
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Principal Investigator |
宮地 兵衛 大阪市立大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (90362227)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 表現論 / ヘッケ環 / 量子群 / 圏化 |
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| Research Abstract |
[Level-Rank双対性] J.Chuang氏と共同で発表した Level-Rank双対性予想は, Rouquier-Shan-Varagnolo-Vasserotにより標数0の複素数体上では抽象的な意味では肯定的に解決した. 我々が定式化した予想が本当に正しことが立証されたことは, 我々にも実績があると言っても過言ではない. 巡回群と対称群の冠積に対するrational Cherednik 代数のBGG圏Oは, Koszul双対性を持ち,そのKoszul双対対はまた違う巴系の圏Oになる. これは古くから知られるaffine量子群のLevel-Rank双対の圏化になっていることが分かるという極めて美しい対応関係が構築されたことを意味する. 無限可積分系, 共形場理論, 代数群と量子群の表現論, 有限群の表現論にとっても大きな応用をもたらす非常に意義のあることである.
[講演] 日本数学会2012年秋季総合分科会 代数学分科会にて特別講演「一般線形群のモジュラー表現の圏の比較」をさせて頂いた.
[論文投稿] 講演での内容と別方向の比較, 自身の論文 Equating decomposition numbers in different e-weightsの証明において不明確箇所が払拭されたと思われるので2013年5月下旬をめどに投稿を必ずをする.
[研究集会] 計画通り遂行した.
[Hidden Hecke代数の進展]
Level 1の場合にShan-Varagnolo-Vasserotと独立にKoszul双対性を示した. 現行彼らの結果は非常に強いため, 非可換不足群の場合も含む正標数も込めた形に編纂し直している.平たく言えば別方向の拡張である. higher level のHidden Hecke代数の進展に関しては, 後述の[現在までの達成度]に状況を記す.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Chuang氏と共同で発表した Level-Rank双対性予想は, Rouquier-Shan-Varagnolo-Vasserotによりlevel 1の具体的な記述部分を残して肯定的に解決した. (公式な場でアナウンスがあった.)これは我々のLevel-Rank双対性予想が信憑性高くいかに精密に定式化された予想であったかを物語っている.
平成24年度の計画であったHidden Hecke代数のRational Cherednik代数(以下ratDAHA)の圏Oからの記述について, 思ったより簡単に話が進展しlevel 1の場合はWilcox氏の先行結果を用いるとratDAHAの言葉だけで記述できることが簡単に分かってしまった. よって計画を前倒しして平成25年度予定のテーマを開始し, 次数付き環Hidden Hecke代数の次数0部分の記述のために主に共同研究者桑原敏郎氏の尽力により次数0部分を小さい群のランクに帰着させる方法(マッキー公式)の構成のための射の集合の予想的な全単射を構成した. 問題は, 対象が無限次元であることや代数解析的であることにより対象の部分空間にある関数に極がある可能性があり, これが悪さをすることがないことを証明しなくてはならない. 現行ここまで進展した. 極の振る舞いに関しては, S.Griffeth氏のその弟子が,ここまでの構成を桑原宮地との共同研究として引き継ぐ旨を伝えてきた. また桑原,Griffeth両氏と議論をしている際, 極の振る舞い問題が解決できた暁には副産物としてratDAHAの圏Oについて導来同値としてのAlvis-Curtis-川中双対性が存在することが示せることが分かった. 現行の私が担当している箇所は, この導来同値箇所とHidden Hecke環のrankを記述するための純群論的研究である. このように良く進展している.
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| Strategy for Future Research Activity |
前述のRouquier-Shan-Varagnoloの定理を使って更に先に進むことを目指す. 具体的には残された予想(即ち level 1の場合量子シューア代数のKoszul双対対らの間の次数付き表現圏だけでなく通常の表現圏の導来圏の圏同値)の構成を明示的な方法で記述することである.
また, Level-Rank双対予想でKoszul双対性が古典型A,B=C,D型の場合は分かった ので残された例外型G2,F4,E6,E7,E8...の場合のKoszul双対性のために量子シューア代数のような具体形を作り実験を開始する. UCLA (University of California, Los Angeles)にRaphael Rouquier教授から共同研究のオファーがあった有限Chevalley群を巻き込んだ研究を開始する.
一方, 現在までの達成度にも記したがHidden Hecke代数の次数0部分の評価に極の振る舞い問題を解決する他に純複素鏡映群の群論的問題を解決しなくてはならない. この方策には, 現在までに知られている実鏡映群の理論をまねていくことと問題と互いに関わりあった分野が多岐にわたり過ぎているため鏡映群に関して研究している若い優秀な研究者に定式化された問題を話し共同研究者になってもらい共に解決するということを考えている.
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
該当なし.
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