| Research Abstract |
GU(2,2)の保型形式の関数等式を与えた. 又, GU(2,2)の離散群として, paramodular 群を定義し, GU(2,2)のgeneric表現と呼ばれるadmissible表現が, そのparamodular 群で固定されるような, ベクトルを持つ事を示した.これは, GSp(4)の保型表現論とアナロジカルな結果である.しかし, GSp(4)の関数等式がベクトルそのものに対して与えられ, 新形式の理論が構築されたのに対し, GU(2,2)の関数等式は, テスト関数も含まれた形となり, 未だ, 新形式と呼ばれるベクトルがどういう群で固定されるべきか試行錯誤中である.この研究に関連して, GL(n) × GL(n)の新形式理論も構築できないか, 試行中である.
GU(2,2)で定義したparamodular群は, 合同関係で定義されるものではなく, GSp(4)のparamodular群より, 大きな格好をしている.この事を用いて, distinguished表現と呼ばれる(GSp(4)からtheta liftで持ち上げられる表現)typeのGU(2,2)の表現は, 或る程度, 大きな群で固定されるベクトルを持つことを示しており, GSp(4)のgeneric表現が, いわゆるGamma 0 typeの離散群で固定されるベクトルを持つ事を示した.この結果を用い, 将来, Pullback formulaの岩澤理論への応用が容易になった.
共同研究で, あるSiegel ３次元多様体にまつわる, 保型形式の構成を行い,その保型形式のL-関数と, 多様体のHasse-Weil zeta関数が一致することを示した.
これをもとに, 未だによくわかっていない, Siegel 3次元多様体の2nd cohomologyに関する予想を与えた. 論文は投稿中である.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
想定していなかった研究課題が次々に発生したため.
だが, それらの問題は, 一個一個解決しており, 確実に進歩し, 目標には近づいてきているように思われる.
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| Strategy for Future Research Activity |
GU(2,2), GL(n)× GL(n)の新形式理論を完成を目指したい。
これにより, van Geemen, van StratenのSiegel３次元多様体にかんする予想の簡潔な証明を与えることが可能となり, U(2,2), GSp(4), Sp(2)の二重被覆群上の保型形式に関する簡潔な形のPullback公式を与える事が可能となる.
それらの結果を用いて, 岩澤理論への応用を行いたい.
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