2015 Fiscal Year Annual Research Report
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24740021
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| Research Institution | Kagoshima University |
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Principal Investigator |
伊藤 稔 鹿児島大学, 理工学域理学系, 准教授 (60381141)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 不変式論 / immanant / Capelli恒等式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
昨年度与えたtwisted immanantという行列函数の研究を進めた。具体的にはhigher Capelli identityの類似を与えることができた。Twisted immanantは反可換成分の行列の不変式論を記述するために導入した概念であるが、反可換の枠組み以外でも意味をなす。今回の結果は、twisted immanantが広い枠組みにおいて自然な存在であるということを示唆する。
結果をもう少しくわしく述べる。通常のimmanantと同様に、twisted immanantにはCauchy-Binet恒等式の類似がなりたつ。また、Capelli恒等式は行列式に関するCauchy-Binet恒等式の非可換化と見なせる。これらのことからtwisted immanantにもCapelli恒等式の類似が期待されるが、これを実際に与えたのが今回の結果である。より直接的には、この結果はOkounkovによるhigher Capelli identityの類似と見なせる。
証明では、以前の研究で得たテンソル代数と無限対称群の融合代数（微分を備えたテンソル代数の拡張）を利用する。このテンソル代数の拡張の有用性を再確認したという価値もある。
研究期間全体としては、まず外積代数における不変式論が大きな成果である（Amitsur-Levitzki型定理と深い関係があり、twisted immanantという新しい行列函数を得た）。また高階のCayley-Hamilton定理が第二基本定理を与える不変式論の研究も進んだ。これはトレース付き代数と対称群の環積の理論として整理できる。さらに以前に構成したテンソル代数の拡張に対して、そのq類似を与えたという成果もある（q-Schur-Weyl双対性の新しい証明を含む）。
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