2012 Fiscal Year Research-status Report
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24740027
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Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
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| Research Institution | Tokyo Woman's Christian University |
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Principal Investigator |
山内 博 東京女子大学, 現代教養学部, 講師 (40452213)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 頂点作用素代数 / 有限群 / ３互換群 / ヴィラソロ代数 |
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| Research Abstract |
本研究の目標は、単純ヴィラソロ元の持つ対称性を用いて標数３型の３互換群を頂点作用素代数上に実現することである。この研究の基礎となるのは中心電荷1/2の単純ヴィラソロ元（これはイジング元と呼ばれる）の定める位数２の自己同型に関する研究である。イジング元によって生成される部分代数には様々な中心電荷の単純ヴィラソロ元が含まれており、イジング元の定める自己同型はしばしば異なる中心電荷を持つヴィラソロ元の定める自己同型と一致することがありえる。二つのイジング元が生成する部分代数の分類は終わっており、この分類にもとづいて三つ以上のイジング元で生成される部分代数の構造について研究を行った。その結果、n+2 個のイジング元で生成される部分代数の無限系列であって、その交換団代数上に３互換群が作用し、さらにその３互換群の互換は n+4 番目のユニタリ系列に属する中心電荷を持つヴィラソロ元から引き起こされるものを構成することができた。また、そのグライス代数構造も決定することが出来た。この結果をムーンシャイン頂点作用素代数に応用した場合、 n=0,1,2 の場合にそれぞれ24次、23次、22次のフィッシャー群が対応する３互換群として現れる。n=0 の場合は申請者の過去の研究結果であり、本結果はその一般化になっている。n を 2 よりも大きくした場合、ムーンシャイン頂点作用素代数上ではユニタリ型の３互換群が得られた。この結果により目標とする標数３型の３互換群を含むより大きな群の包含関係に関する減少列を構成できた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
平成２４年度の研究では標数３型の直交群を頂点作用素代数上で実現するにあたって、より大きな群を構成し、上から抑えこむ結果を与えることができた。特に３互換群の包含関係に関する減少無限系列を構成できた。下から小さな３互換群を構成する研究も現在進行中であり、両者を合わせることで目標とする直交群が実現できるものと考えている。
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| Strategy for Future Research Activity |
目標とする標数３型の直交群を頂点作用素代数上の自己同型として実現するために、小さな頂点作用素代数から出発して下から構成していく研究を行う。これまでの研究により中心電荷4/5の単純ヴィラソロ元から構成される位数２の自己同型の積はある条件下で３互換性を満たすことが判明している。さらにこのように構成される３互換群には斜交型ではない例もいくつか発見されており、この構成法は標数３型の直交群を一般的に与えるものと期待されている。この予想の証明を目標に具体例の計算と理論的な構造論の両面から研究を進める。
最近、有限自己同型群による頂点作用素代数の不動点部分代数の構造と表現に関して、国内外の研究者により重要な進展が発表されており、研究者の注目を集めている。最先端の結果を適切に本研究に応用することで位数３の軌道体構成法の進展が得られるものと考えている。本研究申請時のアイデアと現在進行している研究結果を組み合わせて、ムーンシャイン頂点作用素代数の位数３の軌道体構成法に取り組む。
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
主に国内外の研究者と研究情報を交換するために使用する。平成２４年９月に筑波大学にて群論と頂点作用素代数に関する研究集会を主催した。多数の外国人講演者を招へいするにあたり、その旅費を拠出するために多めに旅費を確保していたが、想定していたよりも多くの研究協力者に旅費を援助して頂けたため、未使用額が多くなった。平成２５年度に繰り越した分は私自身の、そして招へいする研究者の旅費として使用する予定である。
平成２５年６月にはクロアチアの表現論に関するワークショップにて研究成果を発表する予定である。７月には仙台で合宿型研究集会を開催し、招へい研究者の旅費として使用する。２０１３年９月には英国インペリアルカレッジロンドンにてマヨラナ表現に関する国際研究集会が開催され、招待講演者として参加予定である。その旅費としても使用する。
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