2015 Fiscal Year Annual Research Report
多様体の崩壊に対するホッジ・ラプラシアンの固有値の極限の研究
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24740034
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
高橋 淳也 東北大学, 情報科学研究科, 助教 (10361156)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 幾何学 / ラプラシアン / 微分形式 / 小さい固有値 / 特異点 / 交叉コホモロジー群 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は，Riemann 多様体の極限空間に現れる特異点のトポロジーと Hodge-Laplacian の小さい固有値の関係について研究を行った．ここで，小さい固有値とは，極限で 0 に収束するような正の固有値のことである．この問題は，Hodge-Laplacian の固有値の極限を，極限空間の作用素を用いて記述するための一つのステップである．
そこで，我々は，コンパクト Lie 群 G がコンパクト多様体 M に作用した時の商空間 M/G に現われる特異点の場合を調べた．一般に，Lie 群による商空間 M/G の解析を行うには，割る前の多様体 M の群同変な解析を行えば良い．実際，我々も M 上の底的な群同変微分形式の解析を行った．
しかし，具体例として扱ったある S^1 作用の場合に，既知の結果と合致しない事態が生じた．そこで，これらの問題を解決するために，共同研究者である Colette Ann'e 氏（フランス，Nantes大学）を2015年9月に東北大学に招聘し，集中的に議論を行った．
その結果，既知の結果が誤りであることが判明した．具体的には，「コンパクト多様体上の L^2 な底的微分形式のコホモロジー群は，商空間のコホモロジー群と同型である」と主張されていた結果は，「商空間の交叉コホモロジー群と同型である」と修正しなくてはならない．つまり，特異点のトポロジーが交叉コホモロジー群として反映していることが分かった．また，我々が扱った S^1 作用の場合と，きちんと辻褄が合うことが確かめられた．
その後，より一般の群作用の場合を考察したが，議論が非常に複雑で難しく，まとまった成果を得るには至らなかった．しかし，小さい固有値と特異点のトポロジーの関係を明確にさせたことは，大きな進展であった．
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Research Products
(2 results)
