2013 Fiscal Year Research-status Report
擬アノソフ写像類のエントロピーと三次元双曲ファイバー多様体の多面的研究
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24740039
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
金 英子 大阪大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (80378554)
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| Keywords | トポロジー / 幾何学 / 3次元双曲多様体 / 写像類群 / 擬アノソフ / エントロピー / タイヒミュラー多項式 / train track |
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| Research Abstract |
曲面の写像類群を考える. 曲面 S を固定すると, S上の擬アノソフ写像類のエントロピーの集合には最小値Lが存在する. Lを実現する写像類や, エントロピーが小さい (つまりLに近いエントロピーを持つ)擬アノソフ写像類の構成について取り組んでいる. このような研究には, マジック多様体(これをNとおく)という１つの3次元ファイバー双曲多様体が重要な役割を果たすことが本研究によって既にわかっている. 昨年度の成果は, Nの各 fibration のモノドロミーを具体的に構成したことであった. 本年度の成果は以下の2つ.
(1)昨年度の上の構成法を単純化し, 幾何的にした. 具体的には以下の通り. Oertelは, ３次元双曲ファイバー多様体のfibrationのファイバーやそのモノドロミーを考察するため, 分岐曲面を導入した. この分岐曲面を, Nの場合に具体的に構成した. 構成にはOertelによるアイデアと, マジック多様体の性質(本研究で示された性質)を使った. これは高沢光彦氏(東京工業大)との共同研究である.
(2)一般に穴あき円板上の擬アノソフ写像類は組紐によって表される. 漸近的にエントロピーが小さい擬アノソフ組紐の無限族の単純な構成法を与えた. 以下はこの構成法の応用である; 種数gの閉曲面上の写像類であって, 超楕円的対合と可換なものの成す部分群は, 球面 2g-組紐群の部分群と同型である. このような球面組紐群の部分群の中で, 擬アノソフ組紐全体の最小のエントロピーの g に関する漸近挙動について考察した. その結果, 考えている部分群の最小エントロピーの漸近挙動は, 球面組紐群のそれと同じであることが証明できた. これは廣瀬進氏(東京理科大)との共同研究である.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究実績概要の本年度の成果(1) で述べた内容は, マジック多様体という特定の多様体に関する結果であったが, より一般のファイバー多様体に対しても適用できる. 例えばマジック多様体の親となるファイバー多様体 (ねじれ5鎖絡み目の補空間)にも適用できるので, 今後, エントロピー最小の(あるいはエントロピーが小さい)擬アノソフ写像類の研究について取り組むべき方向性が見えた.
成果(2)で述べた結果を使うと, 3次元ハンドル体の写像類群の元, 特に擬アノソフ写像類であって, 超楕円的対合と可換となるようなものが大量に構成できる. 特にエントロピーが小さい擬アノソフ写像類が大量に構成できる. 成果(2)で得た構成を使い, 3次元ハンドル体の写像類群の擬アノソフの性質についても本研究を発展させたい.
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| Strategy for Future Research Activity |
まずは昨年度の成果をまとめた論文を完成させたい. さらに平成26年度の研究実施計画で述べた内容を達成するため, できるかぎり国内外の研究集会に赴き, 様々な研究者と議論したい. 今年度は, 幾何学的群論に関するICMサテライト会議(日本と韓国の２カ所で行われる)に参加する予定である. 研究発表を積極的に行い, さらに研究を進展させたい. また, 大阪大学の宮地秀樹氏, 大鹿健一氏と本研究課題に関して議論を重ね, 擬アノソフ写像類のエントロピーとその写像トーラスの体積に関して成果を出したい.
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
研究を進めていく上で必要に応じて研究費を執行したため当初の見込額と執行額は異なったが, 研究計画に変更はなく, 当初の予定通りの計画を進めていく.
平成25年度研究費の未使用額は, 平成26年度に専門書の購入または旅費に充てる予定である.
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Research Products
(4 results)
