2014 Fiscal Year Annual Research Report
曲面のホモロジー同境群と付随するグラフのリー代数の構造の研究
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24740040
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
逆井 卓也 東京大学, 数理(科)学研究科(研究院), 准教授 (60451902)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2015-03-31
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| Keywords | グラフホモロジー / ホモロジー同境 / モジュライ空間 / 位相幾何学 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Kontsevich によるグラフホモロジーの理論は，自由 Lie 代数のシンプレクティック微分 Lie 代数のホモロジーと，計量グラフのモジュライ空間のコホモロジーの間の密接な関係を与える．これらの対象は自由群の自己同型群のコホモロジーに加え，曲面の写像類群やホモロジー同境群の Johnson 準同型の理論とも関連している．昨年度に引き続き，森田茂之氏，鈴木正明氏との共同研究の中で，自由 Lie 代数の場合のシンプレクティック微分 Lie 代数の構造を調べた．具体的には，複体のウェイト２０部分のオイラー数を大規模計算機を用いた計算により決定し，階数１１の自由群の外部自己同型群の整オイラー数を決定した．この結果より一次独立な奇数次の有理ホモロジー類が少なくとも 1203 個存在することが従う．成果をまとめた論文は既に出版されている．
また，シンプレクティック微分リー代数の種数ごとの構造について，とくに振る舞いの異なる種数が１の場合と高種数の場合の関係性に注目し，Johnson 準同型や榎本-佐藤障害との関連を調べ，結果をプレプリント（Shigeyuki Morita, Takuya Sakasai, Masaaki Suzuki: arXiv:math.AT/1404.3351）として発表した．その結果が既存の結果とどのような関係にあるかを調べることは本研究期間後の課題となった．
Gwenael Massuyeau 氏との共同研究において，これまでに得られていた曲面のホモロジー同境群における拡張森田トレース準同型を，ストリングリンクなどを含めたより広い対象に適用できるよう定義を改良した．本研究内容については現在論文を執筆中である．改良した準同型から得られる絡み目の不変量の性質を調べることも今後の課題である．
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