2014 Fiscal Year Research-status Report
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24740043
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
植田 一石 大阪大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (60432465)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | ミラー対称性 / 深谷圏 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Lagrange交叉Floer理論に関する香川大学の野原雄一氏との共同研究を継続、発展させた。n角形の3角形分割を一つ取るごとに、Kapovich-MillsonおよびKlyachkoによって導入されたbending systemと呼ばれるn角形のモジュライ空間上の完全可積分系が定まるが、このbending systemが射影直線上の階数2の安定放物ベクトル束のモジュライ空間上のGoldman系と呼ばれる完全可積分系において放物荷重を適当に選んだものと、完全可積分系として同型になることを示した。また、n角形のモジュライ空間はGrassmann多様体のシンプレクティック商として得られ、bending systemを持ち上げることによってGrassmann多様体にも完全可積分系の構造が入る。この完全可積分系はトーリック多様体の運動量写像とよく似ているが、トーラスと同相でないLagrange部分多様体をファイバーに持つという際立った違いがある。筆者は野原氏と共同で、3次元の旗多様体と4次元のGrassmann多様体に対して、このトーラスではないファイバーのFloerコホモロジーを計算した。また、完全可積分系に対して、そのLagrangeトーラスファイバーのポテンシャル関数と呼ばれるFloer理論的な量が存在し、ミラー対称性において中心的な役割を果たすが、野原氏及びKing's College LondonのYanki Lekili氏との共同研究において、Grassmann多様体に入る異なった完全可積分系から定まるポテンシャル関数たちがクラスター変換を通して貼り合わさって、Rietscheによって構成されたミラーを開部分集合に制限したものを与えることを示した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
交付申請書に記した「研究の目的」は、ミラー対称性に関わる様々な予想の中で最も重要かつ困難なものの一つであるKontsevichのホモロジー的ミラー予想について、さまざまな側面から研究を行い、その背後にある幾何学への理解を深めることであったが、野原氏とLekili氏との共同研究によって、Grassmann多様体という重要なFano多様体に対してこのプログラムを前進させることができた。
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| Strategy for Future Research Activity |
野原氏およびLekili氏とのこれまでの共同研究によって、Grassmann多様体のポテンシャル関数の壁越え変換がクラスター変換によって貼り合わさる事が示された。今後は、このクラスター変換とLagrange交叉Floer理論における壁越えとの関係を研究する。これによって、近年注目を集めているクラスター代数の理論とミラー対称性との関係を明らかにしたい。
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| Causes of Carryover |
所属が大阪大学大学院理学研究科から東京大学大学院数理科学研究科に変わる事になり、研究計画に変更が生じた。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
所属の変更に伴って、新しい所属で必要な物品の購入を行う。また、新たに決まった出張の旅費にも使用する。
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