2014 Fiscal Year Annual Research Report
曲面上の主分布の大域的考察および様々な部分多様体上の主分布の研究
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24740048
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| Research Institution | Kumamoto University |
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Principal Investigator |
安藤 直也 熊本大学, 自然科学研究科, 准教授 (50359965)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2015-03-31
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| Keywords | 極小曲面 / 複素曲線 / 正則３次微分 / アファインSchwarz写像 / 球面Schwarz写像 / 多項式型の過剰決定系 / 整合条件 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
４次元Euclid空間内の極小曲面で主曲率が単位法ベクトルの取り方に依らないものは２次元複素数空間内の複素曲線と合同であり、このような曲面を誘導計量およびある正則３次微分の観点で特徴づけた。この特徴づけは昨年度行なった上のような曲面の特徴づけの別表現である。この特徴づけに現れる正則３次微分は、複素曲線が一般の４次元超Kaehler多様体内のある複素構造に関するものである場合には、正則とは限らない複素３次微分であり、空間が平坦である場合に正則になりそして誘導計量との関係式が得られる。また２次元複素数空間内の複素曲線は、上の特徴づけに現れる正則３次微分の成分を q とするとき、２階線形方程式 f''+qf=0 に関するアファインSchwarz写像と２次元複素数空間の平行移動の合成による像と局所的に表されることがわかった。また球面Schwarz写像とはアファインSchwarz写像と３次元単位球面への射影との合成であるが、球面Schwarz写像がはめこみならば対応するアファインSchwarz写像による像の各点と２次元複素数空間の原点の距離を与える正値関数の観点で特徴づけられることがわかった。
また以前多様体上の多項式型の過剰決定系を調べたが、さらに詳しいことがわかった。系に現れる n が２以下の場合には主な論点を既に調べることができていたと考えていた。n=3 の場合に各点で値が異なる４つの解が与えられているとき、系が整合条件を満たすかどうかはこれらの４つの関数が決める。今回はこれら４つの関数を用いて整合条件を記述し、さらに各点で値が異なる３つの関数から作られるある１形式が零にはならない場合に整合条件を満たす第４の関数が存在し、この１形式が零にならない接ベクトルを持つ曲線上で与えられた値に応じてその第４の関数は一意に定まることがわかった。
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