2012 Fiscal Year Research-status Report
等質ラグランジュ部分多様体の対の交叉とＦｌｏｅｒホモロジーの研究
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24740049
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Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
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| Research Institution | Tokyo Denki University |
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Principal Investigator |
入江 博 東京電機大学, 未来科学部, 准教授 (30385489)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 幾何学 / トポロジー / Floerホモロジー / シンプレクティック多様体 / ラグランジュ部分多様体 / 対蹠集合 / 複素旗多様体 |
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| Research Abstract |
今年度は、本研究課題の一年目として以下の二つの研究成果を得た。
一つ目の成果は、先行研究で扱ったコンパクト型エルミート対称空間を含む自然なクラスである複素旗多様体の二つの実形のFloerホモロジーを計算する研究の準備に関するものである。まず、Riemann対称空間の対蹠集合の概念を複素旗多様体の場合に拡張して、その基本的性質を調べた。特に、複素ベクトル空間の部分空間の系列として得られる旗多様体の場合に、二つの合同な実旗多様体の交叉の具体的表示を与え、その交叉が離散的な場合には一般化された対蹠集合になることを示した。これらの結果は、代表者、酒井高司(首都大学東京)、田崎博之(筑波大学)との共同研究により得られ、Advanced Studies in Pure Mathematicsに掲載予定である。
二つ目の成果は、複素射影空間の中の第二基本形式が平行なラグランジュ部分多様体のシンプレクティックトポロジーに関するものである。これらの部分多様体は既約な場合には分類されているが、その中で、SU(3)/(Z/3Z)、SU(3)/SO(3)(Z/3Z)の二つのラグランジアンをモデルとするホモロジー的剛性を証明した。この現象は、ラグランジュ部分多様体の低い次数のホモロジーの情報から全ての次数のホモロジーが決まってしまうという現象で、実射影空間をモデルとする場合にSeidel、Biranにより観察されていたものである。また、同様の手法で８次元複素射影空間の中のSU(3)/(Z/3Z)のnon-displaceabilityを証明することができた。研究は現在も進展中であるが、２５年度中には関連する結果をまとめ発表する予定である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初の研究計画では平成２４年度は別の研究方向を設定していたが、実際は、平成２５年度および２７年度に計画していた研究に関連する部分が進行している。むしろこちらのほうが本研究課題の中では重要度が高いため、計画全体から見るとおおむね順調に進行しているものと考えている。
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| Strategy for Future Research Activity |
３月にチューリヒ工科大学(ETH)に滞在し、Paul Biran教授と議論を行ったことが契機となり、複素射影空間の中の第二基本形式が平行なラグランジュ部分多様体のシンプレクティックトポロジーに関する研究が大きく進展しつつある。この内容は当初は平成２７年度の研究実施計画であったが、本研究課題の中では最重要のものであるため、今後の研究の予定を前倒しにして、この課題に集中的に取り組む予定である。
また、酒井高司(首都大学東京)、田崎博之(筑波大学)との複素旗多様体の実形に関する共同研究は継続中であり、今年度も引き続き研究推進させる。
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
研究計画の遂行にあたり、本研究計画に関連する国内外の諸研究集会(計4回)において情報収集および研究成果の発表を行う。また、研究関連の専門書の購入(計3～4冊)および研究のための事務用品等の購入を行う。
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