2014 Fiscal Year Research-status Report
ジョンソン準同型を焦点とする自由群の自己同型群及び，写像類群の代数的研究
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24740051
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| Research Institution | Tokyo University of Science |
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Principal Investigator |
佐藤 隆夫 東京理科大学, 理学部, 講師 (70533256)
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2012-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 自由群の自己同型群 / Johnson準同型 / SL_2 Fricke指標環 / SL_2普遍指標環 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は，自由群，及び自由アーベル群のSL_2普遍表現環についての研究を中心的に行った．
前年度までの研究により，自由群のFricke指標環の降下フィルトレイションの各次数商には自然に自由群の自己同型群が作用し，自由群の自己同型群のAndreadakis-Johnsonフィルトレイション，並びにJohnson準同型に関する理論と同様の理論を構築することができる．しかしながら，生成系であるFricke指標たちの数の多さと，それらの間の関係式の複雑さから，次数が低い場合であってもJohnson準同型に相当する準同型写像の像を計算することが非常に困難である．
そこで，各SL(2,C)表現に対して，Fricke指標ではなく，行列の各成分の値をとる函数を考える．そのような函数たちで生成される部分代数に対して，同様の降下フィルトレイションを定義することができ，自由群の自己同型群が作用する．
この作用から定まる自由群の自己同型群の降下フィルトレイションは，次数ごとに，Andreadakis-Johnsonフィルトレイションを含むことを示し，特に，次数が4以下である場合は一致することを示した．さらに，河澄響矢氏による第1Johnson準同型の拡張と高次元ねじれ係数コホモロジー類の構成理論と同様の考察を行い，一定の結果が得られた．
また，今回考えた，行列の各成分の値をとる函数たちで生成される部分代数は，自由群のSL_2普遍表現環に同型であることも示した．現在は，これらの結果が自由アーベル群の場合にも同様のことが成り立つか，また，SL(2,C)表現ではなくSL(3,C)表現の場合にどこまで類似の議論が成り立つかなどを研究中である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
これまでに，自由群の自己同型群のJohnson準同型に関しては，多くの研究者によって精力的に研究され，実に多岐にわたる結果が知られている．しかしながら，このような理論をSL(2,C)表現のFricke指標環や，行列の各成分の値をとる函数たちで生成される部分代数に対して適用，考察したような例は一切なく，本研究の独創性を明示するとともに，Johnson準同型に関する研究の新しい一面を常に構築し続けていると言える．
特に，今年度は自由群のSL_2普遍表現環との関係が明らかになった．自由群の降中心列の次数和が定めるリー代数が自由リー代数と同型なように，SL_2表現の族に対しても自由群はある種の普遍性を有しているということ実際に証明できたことは，ある程度想定されることとは言え，大変有意義であったと考えている．
また，新しいフィルトレイションがAndreadakis-Johnsonフィルトレイションと一致するかどうかという問題や，ねじれ係数コホモロジーの研究に関する具体的な問題もいくつか得られたことなどから，今後の継続した，研究の方向性も得られていることなどから，現在のところおおむね順調であると考えている．
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| Strategy for Future Research Activity |
本研究は類似の研究がなく，なかなか予想が立てづらい．そこで，今のところは実験的な計算を多数行い，そこから得られる情報を詳しく吟味・考察しながらその都度研究の方向性を決めるという方策が最善のように思われる．
具体的には上述したように，自由群と同様に重要な無限群のクラスである自由アーベル群に対して同様の計算を進めて感触をつかみたいと考えている．また，SL(2,C)表現以外の表現に対しても同様の結果が得られないか計算を実行したいと考えている．
一方で，本研究の強い動機付けともなった，齋藤恭司氏によるSL_2普遍表現環とSL_2普遍指標環の研究にも強い興味を持っている．特に，齋藤氏は，階数がnの自由群のSL_2普遍指標環を，階数がnの自由群のSL_2普遍表現環と，階数が2の自由群のSL_2普遍指標環を用いて記述しており，このような関係が本研究の場合にも成り立てば，自由群の自己同型群の作用を具体的に記述する上で非常に有益であると考えており，是非精力的に研究を進めたいと考えている．
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| Causes of Carryover |
助成金の残高は1万円未満であり，次年度の旅費及び物品費等で使用して問題ないと判断したため．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
旅費及び物品費等で使用する．
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