2012 Fiscal Year Research-status Report
再埋蔵的視点から見た閉曲面上のグラフの１－交差埋め込みに関する研究
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24740056
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Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
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| Research Institution | Niigata University |
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Principal Investigator |
鈴木 有祐 新潟大学, 自然科学系, 准教授 (10390402)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | グラフ / 閉曲面 / 1-交差埋め込み / 四角形分割 / 再埋蔵 |
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| Research Abstract |
位相幾何学的グラフ理論においては，閉曲面に辺の交差なく埋め込まれたグラフが研究対象となることがほとんどである．これらのグラフは一般的にグラフ・マイナー理論と相性がよく，従来の研究結果はこれに依存するものが多い．しかし，‘埋め込み’の条件を多少緩和しただけである1-交差埋め込みはこれらの手法では扱えないクラスであることが知られており，そのコントロール方法は未知な部分が多い．そこで本研究課題においては，1-交差埋め込みの方法（埋め込み方）そのものから議論を行う（1-交差埋め込みの再埋蔵）ことにより，これらのグラフの構造を明らかにしていく．平成24年度には，極大1-平面グラフの辺数の上界，下界に関する結果を論文としまとめ専門誌に投稿している．（オーストラリアのEades教授らの研究グループ（極大1-平面グラフの辺数，極大1-平面グラフの判定アルゴリズム），スロバキアのMadaras教授らの研究グループ（極大1-平面的グラフの辺数）との共同研究．）上記の研究に関して，我々は「n頂点極大1-平面的グラフの辺数は18/5n+c以上である（cは定数）．」という予想をしているが，この予想を解決すべく問題に取り組む際，平面上で三角形と四角形面のみからなり，同種の面が辺を共有しないようなグラフ（市松三四角形分割）が重要であることがわかってきた．現在，横浜国立大学の博士課程に在籍する松本氏とともに，これらのグラフの構造を明らかにすべく研究を継続中である．また，本研究に関してこれまで得た知識と自身の研究結果をまとめ，９月に九州大学にて行われた「日本数学会・秋季総合分科会」において分科会特別講演を行った．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初の計画通り，海外の研究グループとの共同研究を24年度内に大方まとめることに成功している．さらに，射影平面上での多面体的四角形分割に関する研究も本格的にスタートさせつつある．（閉曲面F上の多面体的四角形分割はF上の最適1-交差埋め込みと一対一に対応している．）
研究業績の概要欄にも記したように，横浜国立大学の松本氏との共同研究（市松三四角形分割）においては，その生成定理を構築すべく研究を継続している．しかし現在，いくらかの減少操作を導入しても，既約なグラフを有限個にすることができていない．この状況が，何かの本質的な事実と関連している可能性も否定できず，生成定理や，グラフ・マイナー理論に関する情報を再度収集している段階である．
さらに，国立情報学研究所の小関氏と「極大1-平面グラフの判定アルゴリズム」に関する共同研究を行ったが，現在のところポジティブな結果は得られていない．（‘極大’をとった「1-平面グラフの判定」はNP-完全であることが知られており，その事実に帰着される可能性が浮上している．）
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| Strategy for Future Research Activity |
平成25年度以降は，主に閉曲面上の最適1-交差埋め込み（1-交差埋め込みの辺数の上界を与えるグラフ）の再埋蔵に関する研究を行っていく．（上述のように）このグラフの集合と，その閉曲面の多面体的四角形分割の集合には一対一対応が存在することが知られているので，より構造の単純な多面体的四角形分割の生成定理を得るべく研究を行うことにする．この種の問題は球面上のグラフに関しては完全に解決しているため，平成25年度には射影平面上の多面体的四角形分割に焦点を当て研究を進める．現在，四角形分割の(1)面縮約，(2)正六面体の除去，(3)次数3の頂点で誘導される2-pathの縮約，という3つの減少操作（1989年にBatageljにより導入）を用いているが，これらだけでは既約なグラフを有限個にできないことがわかっている．（既約なグラフの中に，無限系列が含まれてしまう．また，‘representativity’の条件を排除した3-連結四角形分割に関しては，任意の閉曲面に対して上記の(1)～(3)の変形で十分であることも知られている．）そこで，あといくらかの減少操作を導入し，有限個の既約なグラフを得ることを具体的な目標に設定し研究を行っていくことにする．また，他の閉曲面上でも有限個の既約多面体的四角形分割を得ようとする際，どの程度の減少操作があれば十分なのかも同時に考えていく．現段階では，射影平面上で必要となる減少操作と大きく違わないものと予想している．
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
引き続き，必要性のあるグラフ理論関連（特にグラフ・マイナー理論周辺）の書籍を購入し情報を収集する．また，既約多面体的四角形分割を列挙する際計算機を用いて研究を行うため，必要となるソフトウエア（Micro soft, Visual studio）も計上する．
また，以下の国内外出張旅費を計上する：Graph Embeddings and Maps on Surfaces 2013（スロバキア 7月），代数的組合せ論との共同研究集会（山形大学 8月），RIMS共同研究（京都大学数理解析研究所 9月），日本数学会秋季総合分科会 （愛媛大9月），日本数学会秋季総合分科会（学習院大学3月(2014年)），25th Topological graph theory（横浜国立大学 11月），応用数学合同研究集会（龍谷大学 12月），その他の共同研究，セミナー参加等．
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Research Products
(3 results)
