2012 Fiscal Year Research-status Report
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24740071
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Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
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| Research Institution | Meiji University |
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Principal Investigator |
池田 幸太 明治大学, 先端数理科学研究科, 講師 (50553369)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2015-03-31
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| Keywords | 関数方程式論 / 応用数学 / 自己組織化 |
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| Research Abstract |
枝分かれ構造の形成過程における数理的なメカニズムを解明するため、まずは形成過程の初期段階にみられる、単純な構造から複雑な形状が生まれる機構を明らかにしたい。多くの現象が反応拡散方程式によってモデル化されており、枝分かれする時空間パターンの存在が数値計算により示唆される一方で、パラメータがパターンに与える影響の解明や厳密な解の構成は未だ十分に行われていない。先行研究によって、遷移層型の界面が不安定化することは既に知られている。そこで本研究では、まず、パルス型の界面が不安定化することを示した。パルス型の界面の安定性を厳密に調べるには、遷移層型の界面の場合より固有値問題が複雑なため、解析を行うことが難しい。よって、本研究によって得られた結果は、数学的に新しい結果を得たと言える。さらに、得られた結果は遷移層型の解に対して得られた結果と整合性があり、界面の安定性に関して、統一的な見方を与えるものである。また、本研究は自由境界問題を取り扱うことによって得られた結果であり、研究実施計画上必要な情報が得られた。この結果は論文としてまとめ、既に出版されている（"Stability analysis for a planar traveling wave solution in an excitable system", RIMS Kokyuroku Bessatsu, B35 (2012), 125-140）。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
自由境界問題を数学的に取り扱い、重要な結果を得たという点では評価できる。特に、界面の安定性解析を行う上で重要な、非線形固有値問題を解析できたことは重要である。現時点ではまだ微細パターンに対応する解を構成できていないが、今後自由境界問題をさらに詳しく解析し、研究を推進する基礎を築けたと考えている。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後行う研究としては、まずは微細パターンに対応したスケールを用いて反応拡散方程式系を縮約し、常微分方程式系を導出する。2012年度に行った研究で、ある反応拡散方程式系における周期的な空間パターンの安定性を解析するために、縮約系としての常微分方程式系を厳密に導出し、空間パターンの安定性を調べることに成功した。この結果は反応拡散方程式系で得ることは困難で有り、新しい結果が得られたと言える。このように、方程式を縮約する手順は明確になったと言え、今後の研究推進に役立つと言える。この結果を下にして、単純化された常微分方程式系の導出を行い、解の性質を調べることを目標とする。
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
2013年度は、2012年度に得られた結果を国際学会で発表する予定である。現時点で、釜山とプラハで発表することを計画しており、既に申し込み済みである。また、国内での学会でも講演予定である。特に、自己組織化現象に関連した、物理系の学会で講演することを予定している。
研究を推進する上で必要な書籍の購入も予定している。特に、特異摂動法に関する最新の理論や、力学系に関する情報収集が必要である。また、目標となる結果を予測するために数値計算を行う予定である。得られた結果を保存するための電子機器等も購入予定である。
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