2012 Fiscal Year Research-status Report
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24740074
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Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
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| Research Institution | Kinki University |
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Principal Investigator |
山下 登茂紀 近畿大学, 理工学部, 講師 (10410458)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 閉路 / 全域木 / 次数和条件 |
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| Research Abstract |
数年前に，小関氏と私は，ハミルトン閉路が存在するための「位数，連結度，独立数を含んだ次数和条件」に関して，次数和の頂点数を２頂点，３頂点，４頂点としたとき，その最良の下限は公差が「独立数－１」の等差数列をなすという規則性を発見した．この規則性は５頂点以上の次数和条件に関しても成立すると予想した．さらに，ハミルトン閉路の一般化である「指定された頂点を通る閉路」に対しても同様な規則性があることも発見した．そこで，同じくハミルトン閉路の一般化である「指定された長さ以上の閉路」に対しても同様な規則性が期待される．しかし，「指定された長さ以上の閉路」が存在するための2頂点次数和条件はハミルトン閉路の２頂点次数和条件と同じ下限では成り立たない．つまり，「指定された長さ以上の閉路」に関して，等差数列的規則性は初項の段階で成立しない．第２項にあたる３頂点次数和条件に関して，ハミルトン閉路の3頂点次数和条件の下限と一致することを示した．私は，２頂点次数和条件だけが特別で，３頂点以上の次数和条件に対してはハミルトン閉路と同様の等差数列的規則性があるのではないかと予想している．
２０１２年６月にアメリカで開催された研究集会「Cycles in Graphs」で，これらの予想に関して，津垣氏と千葉氏との共同研究で，「指定された長さ以上の閉路」の４頂点次数和条件に対して部分的に解決したことを発表した．その後，研究を推し進め完全解決し，現在論文としてまとめている段階である．つまり，「指定された長さ以上の閉路」の４頂点次数和条件はハミルトン閉路の４頂点次数和条件の下限と一致することを示し，３頂点と４頂点次数和条件に対して，ハミルトン閉路が存在するための次数和条件と同様の規則性が成り立つことを示した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
津垣氏と千葉氏との共同研究で，当初計画していた「指定された長さ以上の閉路」に関する研究に対して，ハミルトン閉路の４頂点次数和条件の下限と一致することを示した．証明することはできたが，その証明は非常に煩雑であった．現在，それを簡略化する作業を行っており，２０１３年度中にはその作業を終え，論文として完成させる予定である．また，最近，我々の予想がP.FraisseとH.A.Jungの定理に深く関連していることがわかった．その数十ページにわたる複雑な証明から我々の必要とする内容をうまく抽出し整理することが重要である．津垣氏と千葉氏と密に連絡を取り，この作業を効率的に行うことで，５頂点以上の次数和条件に関して研究を推し進めていこうと考えている．
次に，計画していたもう１つの研究である２部グラフにおける「葉数が制限された全域木」と「指定された頂点を葉とする全域木」に対する２数和条件の研究について述べる．「葉数が制限された全域木」対する次数和条件に関しては，我々は最良の次数条件を予想し証明を試みていたが，加納氏らによって証明され，我々の予想が正しいことが示された．「指定された頂点を葉とする全域木」に対する次数和条件に関しては，津垣氏と共同研究を行い，部分的に解決した．この研究は，雑誌J.Graph Theoryに２０１２年の掲載されたR.ZamaniとD.B.Westによる「２部グラフにおける指定された辺を通るハミルトン閉路」に関する論文と深い関係があることがわかった．現在，その証明方法などを精査し，完全解決を試みている．
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| Strategy for Future Research Activity |
現在行っている「指定された長さ以上の閉路」の４頂点次数和条件に関する証明の簡略化作業と論文にまとめる作業を引き続き行う．５頂点以上の次数和条件に関しては，P.FraisseとH.A.Jungによる定理の数十ページにわたる複雑な証明から我々が必要とする内容をうまく抽出し整理することが重要である．その作業に関して，津垣氏と千葉氏と共同研究という形で行う予定にしている．
「指定された頂点を葉とする全域木」に対する次数和条件に関しては，R.ZamaniとD.B.Westの定理の十数ページにわたる証明方法を精査する必要がある．ここ数年毎年行っている加納氏を中心とした合宿型セミナー形式の共同研究を２０１３年度も行い，その作業を効率的に行う．また，最近私は，「葉数が制限された全域木」や「指定された頂点を葉とする全域木」に関する幾つかの結果が，「指定された頂点を含む複数の閉路や道」に関する結果から導かれることを発見した．そこで，研究計画を少し修正して，「指定された頂点を含む複数の閉路や道」の研究も同時に行う．これに関しては，この研究のスペシャリストである千葉氏，松村氏，松原氏との共同研究が最も効果的な方法であると考えている．現在既にこれらの研究者とコンタクトは取っており，２０１３年度は本格的に研究を開始する予定である．
これらの研究と平行して，「指定された頂点を通る指定された長さ以上の閉路」という２つの性質を同時に持つ閉路の研究を行う．これは，上記の２つの証明の解析作業に対して，「頂点を通る」と「長い」という性質にはどのような条件が必要であるを明確にするのに非常に役立つのではないかと考えている．
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
「閉路の長さ」に関する４頂点次数和条件と５頂点以上の次数和条件の研究を推し進めるために，中国科学院の津垣氏，熊本大学の千葉氏のところを訪ねる予定にしており，それらの旅費を計上している．「全域木」に関する研究を効率的に進めるために，加納氏を中心とした合宿型セミナー形式の共同研究を茨城大学で行うことを予定しており，その旅費を計上している．「複数の閉路や道」に関する研究を開始するために，熊本大学の千葉氏，茨城大学の松村氏，芝浦工業大学の松原氏のもとを訪ねる予定にしており，その旅費を計上している．
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