2015 Fiscal Year Annual Research Report
非線形分散型方程式の初期値問題に対する空間周期的な解の存在と大域挙動
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24740086
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
岸本 展 京都大学, 数理解析研究所, 講師 (90610072)
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2012-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 非線形分散型方程式 / 初期値問題 / 周期境界条件 / 無条件一意性 / 回転流体 / 組合せ論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
平成27年度はまず，初期値問題の解の無条件一意性に関する前年度までの研究を継続し，周期境界条件を課さない初期値問題の解や，時間変数に関する連続性を必ずしも持たないような弱解についても，ほぼ同様の結論が得られることを示した．このうち弱解の一意性については特異極限問題への応用があり，非線形シュレディンガー方程式等について得られた一意性の結果をもとに，小さなパラメータを含む近似方程式の解がパラメータを0とする極限で元の方程式の解に強収束することを示した．特にザハロフ方程式から非線形シュレディンガー方程式への極限問題については，周期境界条件下では非周期的な場合と同じ解の収束が必ずしも起こらず，極限方程式に修正を加える必要があることを見出した．
この他にも，回転流体の運動を記述する方程式を考察し，ある種の共鳴状態にある非線形相互作用（共鳴相互作用）を引き起こす波数がそれほど多くないことを，組合せ論に基づいた手法で証明した．分散型方程式の手法を用いた回転流体方程式の研究は近年発展しており，本研究で得られた結果や証明方法は，これらの方程式の大域解の存在定理などへの応用が十分に期待される．
研究期間全体を通じての成果として，まずノーマルフォームを用いた一意性証明の一般的な枠組みの構築が挙げられる．これにより，個々の方程式の性質に基づく非常に緻密な議論を要した無条件一意性の証明は大幅に単純化され，より多くの研究者がこの問題にトライできるようになった．一方，非線形シュレディンガー方程式に対する平成24年度の成果や回転流体の方程式に対する上述の成果は，ノーマルフォームでは制御が困難な共鳴相互作用について，組合せ論的な考察によりその寄与の大きさを評価する試みであった．組合せ論との関連は共鳴構造がより複雑な方程式を扱う際に益々重要になると予想され，本研究ではその技術を大いに進展させることができた．
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