2012 Fiscal Year Research-status Report
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24740090
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Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
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| Research Institution | Kochi University |
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Principal Investigator |
小野寺 栄治 高知大学, 教育研究部自然科学系, 准教授 (70532357)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 偏微分方程式 |
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| Research Abstract |
コンパクトケーラー多様体上の曲線流を記述するある空間１次元４階非線形分散型偏微分方程式の初期値問題の解法を考察した。特に多様体が実２次元球面である場合、この偏微分方程式はある種の１次元古典スピン系の連続体近似モデルや３次元非圧縮性非粘性流体内の渦糸曲線の(接ベクトルの)モデル方程式として知られている。
今年度は主に閉曲線流の場合、すなわち未知関数の空間変数の定義域が１次元平坦トーラスである場合の初期値問題の解の存在について考察を進めた。この設定下では空間変数に関する２階までの可微分性の損失が標準的なエネルギー法による解法の障害になる。一方で、トーラスのコンパクト性により実数直線上の４階分散型偏微分方程式の解に対する局所平滑化効果は期待できないため、解の存在を示すためには偏微分方程式系としての良い構造を捕まえて可微分性の損失を解消する必要があった。前年度末の研究で像空間の多様体が定曲率コンパクトリーマン面であるときに滑らかな時間局所解が存在することがわかったが、それを保証する偏微分方程式の構造を十分に説明できなかったので引き続き考察を進めた。その結果、偏微分方程式の構造と多様体の幾何学的構造との関係がより明確になり証明の見通しも大幅に良くなった。これらの成果を日本流体力学会の年会、日本数学会の秋季総合分科会や九州での研究集会で口頭発表した。一方で、解の一意性の証明については、解が多様体値であることから生じる問題点の克服を試みたが、まだうまくいっていない。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
考察した分散型曲線流の方程式の初期値問題の時間局所解の存在については研究が順調に進展し新たな興味深い課題も得られたが、解の一意性の解決には至らなかったため。
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| Strategy for Future Research Activity |
解の一意性の解決に重点的に取り組む予定である。一意性を証明できるかどうかの鍵になっている部分を詳しく調べるために微分幾何学の知識と技術を補充する必要性が生じている。これらを補充しながら解決を図りたい。
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
該当なし
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