2015 Fiscal Year Annual Research Report
ファインマン・カッツ汎関数に基づく確率解析とポテンシャル論への応用
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24740093
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| Research Institution | Nagaoka National College of Technology |
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Principal Investigator |
田原 喜宏 長岡工業高等専門学校, 一般教育科, 准教授 (00567901)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | ディリクレ形式 / ファインマン・カッツ汎関数 / 大偏差原理 / 対称マルコフ過程 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
最終年度においては、これまで研究してきたファインマン・カッツ汎関数の大偏差原理に関する研究に加えて、ファインマン・カッツ汎関数に対応するシュレディンガー半群のコンパクト性についての研究を行った。
シュレディンガー半群のコンパクト性に関する研究は竹田雅好氏(東北大)、土田兼治氏(防衛大)との共同研究であり、当該研究においてはマルコフ過程に対し、既約性、レゾルベント強フェラー性及び緊密性と呼ばれる3つの条件を課し、これらの条件を満たす対称マルコフ過程をクラス(T)と名付けた。その上でクラス(T)のマルコフ過程に加藤クラスに属するポテンシャルを摂動として加えたシュレディンガー半群がコンパクト作用素となる十分条件を与えた。当該研究に於いて与えた例として次のようなものがある:「ユークリッド空間の領域で無限遠方で尖細となる集合上の吸収壁ブラウン運動はクラス(T)に属するものである。ゆえに上記の研究によりブラウン運動に対して加藤クラスに属するポテンシャルを摂動として加えた場合、対応するシュレディンガー半群はコンパクト作用素である」
この例自体は既に知られているものであるが、先行研究においては解析的な手法を用いて証明されたものであり、当該研究に於いては確率論的手法を用いて証明している。
また更に、マルコフ過程の緊密性に対して関連の深いポテンシャルである、グリーン緊密性と呼ばれる性質を持つクラスについて、グリーン緊密でありながら可積分でない測度の例を構成できた。グリーン緊密性とはグリーン関数をコンパクト集合の補集合で積分したときにいくらでも小さくできる測度のクラスであるが、これまでの具体例はコンパクト集合上の定義関数とルベーグ測度の積のように可積分なものであり、これは興味深い例を与えたと言える。
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