2014 Fiscal Year Research-status Report
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24740096
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| Research Institution | Saga University |
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Principal Investigator |
上原 崇人 佐賀大学, 工学(系)研究科(研究院), 准教授 (40613261)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 有理曲面 / 自己同型写像 / 力学系 / エントロピー / ジーゲル円板 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の研究対象は，コンパクト複素曲面もしくは射影代数曲面上の双正則自己同型写像および双有理自己同型写像である．本年度は，有理曲面上で正の位相的エントロピーをもつ双正則自己同型写像の周期点まわりでの挙動について調べた．一般にエントロピー正の自己同型写像に対して，ほとんどすべての周期点は双曲型であることが知られているが，双曲型以外にジーゲル円板とよばれる領域が存在しうることが示されている．ジーゲル円板とは，周期点まわりで写像が無理数回転として作用する領域のことで，エルゴード性や稠密な軌道の存在に対する障害となるものである．ジーゲル円板をもつ写像については多くの研究者によって研究されており，興味ある研究対象である．
本研究では，写像の不動点に着目し，任意有限個のジーゲル円板をもつ写像の構成に成功した．具体的には，任意の自然数に対して，有理曲面上でちょうどこの数のジーゲル円板をもつエントロピー正の自己同型写像が存在することを示した．先行結果では，有限個のジーゲル円板をもつ有理曲面上の自己同型写像の存在，および４次元以上の有理多様体上で任意有限個のジーゲル円板をもつ自己同型写像の存在は示されていたが，本研究の意義は２次元の有理多様体上で具体的な任意個のジーゲル円板をもつ写像の構成に成功したところにある．一般にほとんどすべての不動点は双曲型であるのに対して，本結果は任意有限個のジーゲル円板が存在しうることを示しており，興味ある結果であると考えている．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究の目的の１つは写像の不動点および周期点まわりでの挙動を調べることであった．特に，ジーゲル円板はエルゴード性や稠密な軌道の存在に対する障害となるため，興味のある周期点まわりの挙動である．しかし，エントロピーが正でジーゲル円板をもつ自己同型写像を許容する代数曲面は有理曲面しか存在しないことが知られているため，有理曲面上で任意個のジーゲル円板をもつ写像を構成することは本研究の１つの目標であった．この目標が達成できたため，今年度の研究の達成度は，おおむね順調に進展していると結論づける．
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| Strategy for Future Research Activity |
主に有理曲面上の写像による力学系の研究を行う．特に次年度は，有理曲面上の写像の統一的記述を行う．研究代表者がこれまで構成してきたエントロピー正の自己同型写像は，不変な反標準曲線を許容していた．そこで，今年度は不変曲線をもたないエントロピー正の自己同型写像を中心に構成していく．反標準曲線を不変にする写像の構成を可能にした理由は，反標準曲線のもつ群構造を利用して，曲線上の不確定点の推移を制御できたためである．一方，不変曲線をもたない写像も多く存在すると予想されているが，その場合，不確定点の推移を容易に制御できない．そこで，不変曲線をもつ写像を構成する際にあらわれた不確定点の点配置を変位させることで，不変曲線をもたない写像を構成していく．
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| Causes of Carryover |
本年度は，情報収集のためコンピューターを購入したが，一般的な理論構築のために必要な数値実験が必要でなくなったため，計算ソフトを購入することなく研究成果をあげることができた．そのため、研究費の支出額を抑えることに成功した．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
次年度において，特に有理曲面上の写像の統一的記述を行うためには，コンピューターを積極的に用いて，数値実験により写像を具体的に求めることで一般理論を構築する必要があるため，計算ソフトを購入する予定である．また，知識修得のため，代数・幾何や力学系に関する書物を購入するとともに，情報収集や研究打合せのため，研究集会やセミナーに参加する．
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