2014 Fiscal Year Research-status Report
曲線および曲面のダイナミクスを記述する幾何学的発展方程式の新展開
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24740097
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
岡部 真也 東北大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (70435973)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 幾何学的発展方程式 / 変分法 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は M. Novaga 氏（ Pisa 大学）との共同研究により、高階放物型方程式に関する障害物問題について研究を実施した。
楕円型および放物型方程式に対する障害物問題は、二階の場合については様々な興味深い研究成果が得られており、今なお盛んに研究が行われている分野である。しかしながら、高階の場合には、最も単純な四階楕円型方程式といえる重調和方程式に対する障害物問題について幾つか結果が得られているに留まっている。我々は、高階放物型方程式の障害物問題に関する解析の足がかりとすべく、四階放物型方程式のプロトタイプとして重調和作用素に対する線形放物型方程式を選定し、研究を実施した。具体的には、上記した障害物問題に Dirichlet 境界条件を課し、滑らかな境界をもつ有界領域上で考察した。その結果、弱解が任意有限時間で存在し、さらに次元を３以下に制限するとき、弱解は超関数の意味で問題をみたすことを証明することに成功した。我々は、変分的な近似解法である minimizing movements を用いて問題の解を構成した。具体的には、対応する楕円型方程式の解を用いて問題の解を近似する。その際、超関数の意味で問題をみたす解を構成するためには、近似解に連続性が必要となる。その連続性を Sobolev の埋め込み定理から得るために次元に制限を加えた。
上記した問題は障害物を表す関数がひとつの場合である。現在は障害物を表す関数がふたつの場合について研究を展開している。我々の目的はある幾何学的発展方程式に対する障害物問題を解析することにある。現在行っている研究は、その目的のための第一歩と位置づけている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究の全体構想は曲線に対して定義される種々の幾何学的発展方程式の解のダイナミクスを解析することである。その中で、本研究の主題のひとつは、曲線同士の相互作用を定式化することによって、自己交差を抑制する幾何学的発展方程式を考案することである。今年度の研究における対象であった障害物問題は、曲線が受ける外部からの作用を障害物として定式化する試みとして研究を開始したものである。我々が対象とする幾何学的発展方程式は、曲率の二乗積分として定義される弾性エネルギーに対する勾配流方程式に低階の摂動を加えたものと理解することができ、準線形四階放物型方程式として分類されるものである。このような幾何学的発展方程式に対する障害物問題を考察するために、四階微分作用素のプロトタイプとみなすことのできる重調和放物型方程式に対する障害物問題を研究対象として選定した。最も単純な作用素に対する線形方程式の場合に解の構成法や解の挙動の解析手法を蓄積することが、本研究の目的達成のための基礎となる。本年度はその第一歩と位置づけられる結果を得ることに成功した。また、現在は目的達成に向けて問題のさらなる一般化を進めている段階にある。研究開始当初は障害物問題とは異なる観点から曲線が外部から受ける影響を定式化することを想定していたが、研究を進める中で障害物問題という観点による定式化へと問題を展開した。その結果として研究は順調な進展をみせている。以上により、本研究はおおむね順調に進展していると判断できる。
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| Strategy for Future Research Activity |
本研究計画においては、研究開始当初、汎関数の効果を用いて曲線同士の相互作用を定式化することを想定していた。研究を遂行する過程において、曲線同士の相互作用を定式化するための第一歩として曲線が外部から何らかの作用を受けることを数学的に取り扱うことを目的として研究を展開した。曲線が外部から受ける作用をどのように定式化するかの選択は様々であるが、本研究においては障害物問題として定式化することとした。しかしながら、高階放物型方程式に対する障害物問題は、これまでに十分な研究成果が蓄積されている分野ではない。そのため、基礎的な結果を構築することから研究を開始せねばならない。今年度はその礎となるべき、解の存在定理を得ることに成功した。目的である幾何学的発展方程式の障害物問題を考察するために、今後は今年度得た結果を
(i) 障害物が二つの場合;
(ii) 方程式が半線形および準線形の場合
という二つの方向に拡張することを目指す。さらに、本研究の目的は幾何学的発展方程式の解のダイナミクスを解明することであるから、解の存在を示すだけでは十分ではない。時刻を無限大とするときの漸近挙動、初期値や障害物関数による解の挙動の特徴付けなどの解析方法を確立してこそ、本研究の目的は達成されたといえる。従って、今後は今年度得た結果の一般化および、解の挙動を解明するための手法を確立することを目的に研究を進めることとする。
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| Causes of Carryover |
今年度２０１４年１１月に開催した RIMS 研究集会「偏微分方程式の解の形状と諸性質」において招待講演者として予定していた海外研究者が、諸事情により研究集会開催直前に来日がキャンセルとなった。そのため、招聘旅費として使用予定であった研究費に残が生じることとなった。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
次年度において RIMS 研究集会「偏微分方程式の形状と諸性質」を１１月に開催することが決定している。従って、本年度と同様の目的のもと、上記研究集会の招待講演者招聘旅費として使用する。
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