2015 Fiscal Year Annual Research Report
曲線および曲面のダイナミクスを記述する幾何学的発展方程式の新展開
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24740097
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
岡部 真也 東北大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (70435973)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 幾何学的発展方程式 / 変分法 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究課題の最終年度である本年度は、前年度に行っていた四階放物型方程式に対する障害物問題について、その拡張を得るべく、研究を実施した。具体的には、障害物を表す二つの既知函数による制約のもとで、四階放物型方程式の時間大域的可解性、および、その解の正則性を研究対象とした。この問題に対して、M. Novaga 氏との共同研究により、弱解が時間大域的に存在すること、および、空間次元を三次元までに制限するときその解の正則性を得ることに成功した（論文 [2]）。次元を三次元までに制限するには二つの理由がある。一つは、解を変分的な近似解法 minimizing movements により構成するわけだが、その近似解の収束を示すためである。さらに、もう一つの理由として、障害物が二つであるため、各々の障害物函数と解の一致集合が互いに素であることを示す必要があることが挙げられる。二つの障害物函数が一致していないところではこの離別性は自明だが、二つの障害物函数が一致しているところで本質的な困難が生じる。しかしながら、これら二つの問題点は近似解の連続性により解決することができる。従って、Sobolev の埋蔵定理によりその連続性を得るために、次元を三次元までに制限している。
上記した研究は、本研究課題の目的の一つである幾何学的障害物を考える上で重要な示唆を与えるものである。実際、この結果を踏まえて、M. Novaga 氏とある幾何学的障害物問題に関して共同研究に向けた議論を行っている。これは、有界領域内部にある曲線に対して領域の境界が曲線にとっての障害物となる設定の下で、曲線に対する幾何学的発展方程式を考える問題であり、幾何学的発展方程式に関する研究に新たな視点を加えることが期待される。
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