非線型波動場における時間大域的性質の解析

2014 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 24740106
• Research Institution: Toyama Prefectural University
• Principal Investigator: 土井 一幸 富山県立大学, 工学部, 講師 (80608331)
• Project Period (FY): 2012-04-01 – 2015-03-31
• Keywords: 非線型波動 / 時間大域解

Outline of Annual Research Achievements

初期値問題の解に対する時間大域的性質の解析は偏微分方程式における基本的問題の一つである。本年度は非線型双曲型波動方程式及び時間発展型のギンツブルグ・ランダウ方程式に対する解の時間大域性について考察を行った。
まず、前年度は共同研究によって初年度に得られた空間3次元における斉次波動方程式の解の微分に対する重み付きの各点評価を改良したが、本年度はその改良の過程を見直し、空間2次元における斉次の波動方程式に対しても類似の結果が成り立つかを考察した。この考察において、いくつかの補助的な不等式を得ることができた。しかし、現時点ではこれを適用して問題を解明するところには至らなかった。これについては今後の研究課題としたい。さらに、上記の問題が肯定的に解決された場合、各次元での外部領域上における非線型波動方程式(系)の初期値・境界値問題の小さな初期値に対する時間大域解の存在性について考察することも、今後の課題としたい。
また、初年度には初期値を平面波の重ね合わせとした場合の消散項を付した非線型分散型方程式の解が持つ性質を検討したが、本年度は非線型シュレディンガー方程式を念頭に置いた上で、初期値を上記同様に平面波の重ね合わせとして分散項の係数を複素数とした方程式(ギンツブルグ・ランダウ方程式)の解の挙動を考察した。これについては、極めて限られた場合においてしか具体的な挙動を得られなかった。しかし、この方程式について最近の文献を見つけることができたため、これを手がかりに今後の研究を進めていきたい。