2012 Fiscal Year Research-status Report
可積分な離散ハングリー系に付随するアルゴリズムの高速化と理論解析
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24740110
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Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
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| Research Institution | Tokyo University of Science |
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Principal Investigator |
福田 亜希子 東京理科大学, 理学部, 助教 (70609297)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2015-03-31
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| Keywords | 離散ハングリー戸田方程式 / Totally Nonnegative行列 / 原点シフト / dqdsアルゴリズム / 中心多様体理論 / 誤差解析 / 固有値 / 離散可積分系 |
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| Research Abstract |
研究代表者らのこれまでの研究において，可積分な離散ハングリー戸田方程式の数理構造を基に，totally nonnegative行列の固有値が高精度に計算できるdhTodaアルゴリズムを提案している．平成24年度は，dhTodaアルゴリズムに対する丸め誤差解析を行い，相対誤差の意味で高精度に固有値を計算できることが明らかとなった．この結果は2012年6月にアメリカNapa Valleyで行われた国際ワークショップ「9th International Workshop on Accurate Solution of Eigenvalue Problems (IWASEP9)」において口頭発表し，研究成果をまとめた論文はNumerical Algorithm誌に掲載された．
dhTodaアルゴリズムと数学的に等価であるqd型dhLVアルゴリズムの収束性に関して，古典的な解析手法である中心多様体理論に基づく局所解析を行い，収束の終盤において指数的な収束性を示すことが理論的に示された．研究成果をまとめた論文はApplicable Analysis誌に掲載された．
dhTodaアルゴリズムの収束を高速化させるため，原点シフト操作を組み込んだシフト付きdhTodaアルゴリズムについてまとめた論文がMonatshefte fur Mathematik誌に掲載されている．シフト量の計算に関して，反復ごとにシフト量が改善されるような実装法を提案し，日本応用数理学会にて口頭発表を行った．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
H24年度に計画していたdhTodaアルゴリズムの誤差解析と収束の高速化については当初の予定通りに研究成果が得られている．得られた成果は国内外の学会・研究集会等において口頭発表を行い，海外の学術論文誌に掲載されている．さらに，dhTodaアルゴリズムと数学的に等価なqd型dhLVアルゴリズムの局所的な収束性の解析を行ったことで，dhTodaアルゴリズムに対する解析の目途が立っている．
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| Strategy for Future Research Activity |
H25年度はまず，dhTodaアルゴリズムに対する局所的収束性の解析を行う．qd型dhLVアルゴリズムに対して行った手法に倣い，中心多様体理論を利用することで，平衡点付近での局所的な収束性について解析する．
また，シフト付きdhTodaアルゴリズムに対する収束次数の解析を行い，シフトを導入前よりも高次収束することの理論保証を与える．解析手法は，固有値計算のためのdqdsアルゴリズムで用いられている方法を参考にする．得られた成果は適切な国際会議および国内の学会にて口頭発表し，論文としてまとめ，海外の学術論文誌に投稿する予定である．
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
2013年6月にアメリカのProvidenceで行われる国際会議「18th Conference of the International Linear Algebra Society (ILAS2013)」における講演（An extension of the dqds algorithm for totally nonnegative matrices and the Newton shift）が採択されているので，その旅費，参加費，宿泊費等に使用する．
また，国内の適切な学会（日本応用数理学会，日本数学会），研究集会等にて研究成果の発表，情報収集を適宜行う予定であり，その旅費・宿泊費・参加費に使用する予定である．
さらに，採録された論文の別刷り代に使用する．
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