2014 Fiscal Year Research-status Report
特異性をもつ方程式に対する超高性能数値解法の開発と理論動作保証
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24760060
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| Research Institution | Hiroshima City University |
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Principal Investigator |
岡山 友昭 広島市立大学, 情報科学研究科, 講師 (80587866)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 数値解析 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は，特異性をもつ方程式に対し，これまでになく高い性能をもつ数値解法を開発し，さらに理論的に動作保証も行うことである．対象とする方程式は物理・化学などでしばしば現れるが，特異性をもつ関数が現れるために数値シミュレーションが難しく，既存の汎用手法ではうまく扱えない．ただし，その特異性は境界にのみ現れ，内部では性質のよい「解析関数」になることが多く，そのような場合にはSinc数値計算法が非常に有効である．実際に研究代表者によって，特異性をもつ関数に対し，Sinc数値計算法に基づく高性能近似公式がいくつか提案されている．そこで本研究では，この成果をもとに，特異性をもつ方程式に対する超高性能数値解法の開発を行うこと，さらに理論解析によってその動作保証も厳密に行うことを目的とする．
これまでは積分が含まれた方程式に対する研究が主であったが，平成26年度は，微分も含まれている方程式（微積分方程式）に対する研究にも精力を注いだ．ここでの主なアイディアは，与えられた方程式を積分することで微分をなくすよう変形し，積分方程式に帰着することである．これによってこれまでの積分方程式に対する成果を使用することができ，数値解法の導出およびその動作保証を実現した．さらに精度保証を行うことも考えているが，今回の変形により不定積分型の二重積分が現れるため，これに対する精度保証が必要となる．この研究は平成27年度に実現させる予定である．
さらに隣接するサブテーマとして，多角形領域のラプラシアンの固有値の精度保証も行った．この計算には端点に特異性をもつ積分値を精度保証つきで求めることが必要となるが，これまでの研究成果を工夫することで実現した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
平成26年度は，微分も含まれている方程式（微積分方程式）に対する研究にも精力を注ぎ，実際Fredholm微積分方程式に対するSinc数値計算法の改善やその理論動作保証に成功している．その他にも，多角形領域のラプラシアンの固有値の精度保証や，指数的減衰関数の半無限積分に対するSinc数値計算法の改善など，さらなる成果を積み重ねている．
また並行して，（まだ成果発表は行っていないが）Sinc数値計算法の性能を越える超高性数値計算法を鋭意開発中である．
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| Strategy for Future Research Activity |
微積分方程式に対する本研究の数値解法の基本方針は，与えられた方程式を積分することで微分をなくすよう変形し，積分方程式に帰着することである．その際，不定積分型の二重積分が現れるため，今後精度保証つき数値計算を考える際には，これに対する精度保証が必要となることがわかった．そこでこの研究は平成27年度に実現させる予定である．また本研究のメインテーマである特異性をもつ方程式に対する研究も順次進める．
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Research Products
(5 results)
