2015 Fiscal Year Research-status Report
特異性をもつ方程式に対する超高性能数値解法の開発と理論動作保証
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24760060
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| Research Institution | Hiroshima City University |
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Principal Investigator |
岡山 友昭 広島市立大学, 情報科学研究科, 講師 (80587866)
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| Project Period (FY) |
2012-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 数値解析 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は，特異性をもつ方程式に対し，これまでになく高い性能をもつ数値解法を開発し，さらに理論的に動作保証も行うことである．対象とする方程式は物理・化学などでしばしば現れるが，特異性をもつ関数が現れるために数値シミュレーションが難しく，既存の汎用手法ではうまく扱えない．ただし，その特異性は境界にのみ現れ，内部では性質のよい「解析関数」になることが多く，そのような場合にはSinc数値計算法が非常に有効である．実際に研究代表者によって，特異性をもつ関数に対し，Sinc数値計算法に基づく高性能近似公式がいくつか提案されている．そこで本研究では，この成果をもとに，特異性をもつ方程式に対する超高性能数値解法の開発を行うこと，さらに理論保証によってその動作保証も厳密に行うことを目的とする．
平成26年度において，微分と積分が含まれた方程式の数値解法の研究を行ったが，そこでは与えられた方程式を積分して微分項をなくすように変形し，積分方程式に帰着していた．その際に二重積分が現れるため，今後精度保証付き数値計算を考える際には，二重積分に対する精度保証付き数値計算が必要となることがわかった．そこで平成27年度は二重積分に対するSinc数値計算法の誤差を詳細に解析し，明確な誤差上界を与えた．この結果によって許容誤差をみたす近似値を得ることが可能になった．
さらに隣接するサブテーマとして，ガンマ関数や変形ベッセル関数の精度保証付き数値計算法の開発も行った．これらの関数は，原点で特異性をもつ関数の積分を計算することで求まるが，これまでの研究成果を工夫することでこの精度保証付き数値計算を実現した．また他にも，無限領域上の二重積分に対する数値計算法についても考察した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
平成26年度に新たに現れた課題「二重積分をSinc数値計算法によって精度保証付き数値計算を行う」ための最も重要な部分である，誤差上界を得ることに成功した．この上界を計算することで厳密に誤差を見積もることができ，許容誤差をみたす近似値を得ることが可能になった．その他にも，ガンマ関数や変形ベッセル関数の精度保証付き数値計算法の開発など，さらなる成果を積み重ねている．
また並行して，Sinc数値計算法の性能を超える超高性能数値計算法を鋭意開発中である．
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| Strategy for Future Research Activity |
ほぼ特異性をもつ方程式に対する研究の進捗は満足のいく段階になっており，平成28年度は終了に向け，仕上げおよびアウトプットに集中すべきであると考える．ただし今後に続くサブテーマは研究開発を続ける予定であり，例えば無限区間におけるSinc数値計算法の誤差上界の解析や，Sinc数値計算法の性能を超える超高性能数値計算法の開発などを考えている．
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| Causes of Carryover |
国際会議 18th International Conference on Computational and Applied Mathematics において研究発表・情報収集・論文投稿を予定していたが，開催地フランスにて連続テロ事件が起こった．文部科学省からの注意喚起もあり，参加をとりやめたため．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
国際会議 5th European Seminar on Computing において研究発表・情報収集・論文投稿を行う．
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