2012 Fiscal Year Annual Research Report
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24840005
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| Research Institution | Yamagata University |
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Principal Investigator |
西岡 斉治 山形大学, 理学部, 助教 (10632226)
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2012-08-31 – 2014-03-31
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| Keywords | 差分方程式 / 離散パンルヴェ方程式 / 差分代数 |
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| Research Abstract |
本年度は主に二つの事柄について研究した。一つは、離散パンルヴェ方程式の既約性に関するもので、具体的にはD7型dパンルヴェ方程式と呼ばれる差分方程式が（分解可能拡大の意味で）既約かどうかという問題を研究した。離散パンルヴェ方程式と呼ばれる差分方程式群は大きく分けて３種類あり、そのうちqパンルヴェ方程式と呼ばれる方程式群に属すいくつかの方程式に対しては、既約性はすでに証明されている。一方、dパンルヴェ方程式群に対する既約性の研究は手つかずであった。本年度、D7型dパンルヴェ方程式に対しては本質的な部分についてほぼ解決した。
もう一つは一階有理的差分方程式に関するものである。この種の方程式をみたす関数達の代数的独立性を、方程式に現れる多項式の次数のみにより判定する方法を作っていたが、これを応用し、f(x), f(x**2), …, f(x**n)の代数的独立性に関する結果を得た。例として、ワイエルシュトラスのペー関数に対して上記のものが形式ベキ級数体C((x))に属す初等関数で生成される体E上代数的独立であることがわかる。これはまた、ペー関数がf(x)をf(x**2)に移す変換作用素に関するE上の代数的差分方程式をみたさないことも意味する。
一階有理的差分方程式の一種の差分リッカチ方程式と呼ばれる方程式群に対して、その標準形を一般の変換作用素にも通用するものに一般化するという成果も得た。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
dパンルヴェ方程式群に対して既約性を証明するための道筋を見出すことができた。一階有理的差分方程式の解の超超越性については、一般の変換作用素に対して議論を行うための基礎を作ることができた。
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| Strategy for Future Research Activity |
D7型dパンルヴェ方程式の既約性の証明を完成させ、それを分析することで、証明手法の体系化のための示唆を得る。一階有理的差分方程式の解の超超越性については、引き続き既存研究の分析とその一般化を並行する。
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